Найдите наименьшее трёхзначное натуральное число, которое при делении на 6 и на 11 даёт равные ненулевые остатки и у которого средняя цифра является средним арифметическим двух крайних цифр.

Пошаговое решение:

1. Пусть искомое число - 'abc', где a, b, c - цифры. Тогда число равно 100a + 10b + c.
2. Условие про среднюю цифру: \( b = \frac{a+c}{2} \), или \( 2b = a+c \).
3. Условие про остатки: \( 100a + 10b + c = 6k + r \) и \( 100a + 10b + c = 11m + r \), где \( r ≠ 0 \).
4. Это значит, что \( 100a + 10b + c - r \) делится на 6 и на 11. Следовательно, \( 100a + 10b + c - r \) делится на НОК(6, 11) = 66.
5. Пусть \( N = 100a + 10b + c \). Тогда \( N ≡ r ​ \pmod{6} \) и \( N ≡ r ​ \pmod{11} \).
6. Рассмотрим выражение \( N \pmod{66} \): \( 100a + 10b + c = 66k + r \).
7. Подставим \( c = 2b - a \) из условия 2: \( 100a + 10b + (2b - a) = 99a + 12b \).
8. Итак, \( 99a + 12b ≡ r ​ \pmod{66} \).
9. \( 99a + 12b = 66a + 33a + 12b \). Значит, \( 33a + 12b ≡ r ​ \pmod{66} \).
10. Переберем возможные значения 'a' (от 1 до 9) и 'b' (от 0 до 9), учитывая, что \( c = 2b - a \) должна быть цифрой (0-9).
11. Если \( a=1 \), то \( c = 2b - 1 \). Возможные пары (b,c): (1,1), (2,3), (3,5), (4,7), (5,9).
12. Проверим \( 33a + 12b ≡ r ​ \pmod{66} \) для \( a=1 \): \( 33 + 12b ≡ r ​ \pmod{66} \).
13. - Если \( b=1 \), \( c=1 \). Число 111. \( 33 + 12 = 45 \). \( 45 ≡ 45 ​ \pmod{66} \). \( 45 ≡ 3 ​ \pmod{6} \) (остаток 3). \( 45 = 4 × 11 + 1 \) (остаток 1). Остатки не равны.
14. - Если \( b=2 \), \( c=3 \). Число 123. \( 33 + 24 = 57 \). \( 57 ≡ 57 ​ \pmod{66} \). \( 57 ≡ 3 ​ \pmod{6} \) (остаток 3). \( 57 = 5 × 11 + 2 \) (остаток 2). Остатки не равны.
15. - Если \( b=3 \), \( c=5 \). Число 135. \( 33 + 36 = 69 \). \( 69 ≡ 3 ​ \pmod{66} \). \( 3 ≡ 3 ​ \pmod{6} \) (остаток 3). \( 3 ≡ 3 ​ \pmod{11} \) (остаток 3). Остатки равны и ненулевые.
16. - Проверим число 135: \( 135 : 6 = 22 \) ост. 3. \( 135 : 11 = 12 \) ост. 3. Средняя цифра 3 = (1+5)/2. Условие выполнено.
17. Так как мы искали наименьшее трехзначное число, и мы начали с \( a=1 \), то 135 является наименьшим.

Ответ: 135