Найдите наименьшее значение A=x^2+2y^2+4y+2xy.

\[A = x^{2} + 2y^{2} + 4y + 2xy =\]

\[= \left( x^{2} + 2xy + y^{2} \right) + \left( y^{2} + 4y + 4 \right) - 4 =\]

\[= (x + y)^{2} + (y + 2)^{2} - 4\]

\[y + 2 = 0\]

\[y = - 2.\]

\[x + y = 0\]

\[x = - y\]

\[x = - ( - 2) = 2.\]

\[Наименьшее\ значение\ \]

\[A = - 4\ при\ x = 2;y = - 2.\]