12 Найдите наименьшее значение функции у - 19х - 10 sinx + 6 отрезке 0; 2 .

Функция: $$y = 19x - 10sinx + 6$$

Отрезок: $$[0; \frac{\pi}{2}]$$

Находим производную функции:

$$y' = 19 - 10cosx$$

Приравниваем производную к нулю:

$$19 - 10cosx = 0$$

$$cosx = \frac{19}{10} = 1.9$$

Так как $$\frac{19}{10} > 1$$, то уравнение не имеет решений.

Следовательно, критических точек у функции на заданном отрезке нет.

Вычислим значение функции на концах отрезка:

При x = 0:

$$y(0) = 19(0) - 10sin(0) + 6 = 0 - 0 + 6 = 6$$

При x = $$\frac{\pi}{2}$$:

$$y(\frac{\pi}{2}) = 19(\frac{\pi}{2}) - 10sin(\frac{\pi}{2}) + 6 = 19(\frac{\pi}{2}) - 10(1) + 6 = \frac{19\pi}{2} - 4$$

Так как $$\pi \approx 3.14$$, то

$$y(\frac{\pi}{2}) \approx \frac{19 \cdot 3.14}{2} - 4 = \frac{59.66}{2} - 4 = 29.83 - 4 = 25.83$$

Сравним значения: y(0) = 6 и y($$\frac{\pi}{2}$$) ≈ 25.83.

Наименьшее значение функции на отрезке достигается при x = 0 и равно 6.

Ответ: 6