Найдите наименьшее значение функции y = -15 - 8π + 32x – 32√2 sin x на отрезке [0; π/2].

Решение:

Найдем производную функции \( y = -15 - 8\pi + 32x - 32\sqrt{2}\sin x \):

\( y' = ( -15 - 8\pi )' + (32x)' - (32\sqrt{2}\sin x)' \)

\( y' = 0 + 32 - 32\sqrt{2}\cos x \)

\( y' = 32 - 32\sqrt{2}\cos x \)

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 32 - 32\sqrt{2}\cos x = 0 \)

\( 32 = 32\sqrt{2}\cos x \)

\( \cos x = \frac{32}{32\sqrt{2}} \)

\( \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

\( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

На отрезке \( [0; \frac{\pi}{2}] \) уравнение \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) имеет решение \( x = \frac{\pi}{4} \).

Теперь вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

1. При \( x = 0 \):

\( y(0) = -15 - 8\pi + 32(0) - 32\sqrt{2}\sin(0) = -15 - 8\pi \)

\( -8\pi \approx -8 \cdot 3.14 = -25.12 \)

\( y(0) \approx -15 - 25.12 = -40.12 \)

2. При \( x = \frac{\pi}{4} \):

\( y(\frac{\pi}{4}) = -15 - 8\pi + 32(\frac{\pi}{4}) - 32\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4}) \)

\( y(\frac{\pi}{4}) = -15 - 8\pi + 8\pi - 32\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}) \)

\( y(\frac{\pi}{4}) = -15 - 32(\frac{2}{2}) \)

\( y(\frac{\pi}{4}) = -15 - 32 = -47 \)

3. При \( x = \frac{\pi}{2} \):

\( y(\frac{\pi}{2}) = -15 - 8\pi + 32(\frac{\pi}{2}) - 32\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{2}) \)

\( y(\frac{\pi}{2}) = -15 - 8\pi + 16\pi - 32\sqrt{2}(1) \)

\( y(\frac{\pi}{2}) = -15 + 8\pi - 32\sqrt{2} \)

\( 8\pi \approx 25.12 \)

\( 32\sqrt{2} \approx 32 \cdot 1.414 = 45.248 \)

\( y(\frac{\pi}{2}) \approx -15 + 25.12 - 45.248 = -35.128 \)

Сравним полученные значения: \( -40.12 \), \( -47 \), \( -35.128 \).

Наименьшее значение функции равно -47.

Ответ: -47