Найдите наименьшее значение функции y=5cosx-7x+2 на отрезке [-\frac{3\pi}{2}; 0]. Ответ:

Найдем наименьшее значение функции \(y = 5 \cos x - 7x + 2\) на отрезке \([-\frac{3\pi}{2}; 0]\).

• Найдем производную функции: \[y' = -5 \sin x - 7\]
• Определим, где производная равна нулю или не существует. В данном случае производная существует везде, и нам нужно решить уравнение: \[-5 \sin x - 7 = 0\] \[\sin x = -\frac{7}{5} = -1.4\] Так как \(|\sin x| \leq 1\), уравнение не имеет решений. Это означает, что на заданном отрезке нет точек экстремума.
• Определим знак производной на заданном отрезке. Поскольку \(\sin x \geq -1\), то \[-5 \sin x \leq 5\] \[-5 \sin x - 7 \leq 5 - 7\] \[y' = -5 \sin x - 7 \leq -2\] Таким образом, производная отрицательна на всем отрезке, а значит, функция убывает.
• Поскольку функция убывает, наименьшее значение она принимает в правом конце отрезка, то есть в точке x = 0: \[y(0) = 5 \cos(0) - 7 \cdot 0 + 2 = 5 \cdot 1 - 0 + 2 = 7\]
• Теперь найдем значение функции в левом конце отрезка, то есть в точке \(x = -\frac{3\pi}{2}\): \[y(-\frac{3\pi}{2}) = 5 \cos(-\frac{3\pi}{2}) - 7(-\frac{3\pi}{2}) + 2 = 5 \cdot 0 + \frac{21\pi}{2} + 2 = \frac{21\pi}{2} + 2 \approx 34.97\]
• Сравним значения функции на концах отрезка:

Поскольку функция убывает на заданном отрезке, наименьшее значение она принимает в точке \(x = 0\):

Ответ: -\(\frac{35\pi}{2}\) + 2