Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Найдите наименьшее значение функции y = 14 tgx - 28x + 7π – 2 на отрезке [-π/3; π/3].
Ответ:
Разбираемся:
Краткое пояснение: Для нахождения наименьшего значения функции на заданном отрезке, нужно найти производную функции, приравнять её к нулю, найти корни уравнения на этом отрезке и вычислить значение функции в этих точках и на концах отрезка.
Пошаговое решение:
- Находим производную функции:
\[y' = (14 tg x - 28x + 7\pi - 2)' = \frac{14}{cos^2 x} - 28\] - Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
\[\frac{14}{cos^2 x} - 28 = 0\]\[\frac{14}{cos^2 x} = 28\]\[cos^2 x = \frac{1}{2}\]\[cos x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\]\[x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z\] - На отрезке [-π/3; π/3] лежат два корня: x = -π/4 и x = π/4.
- Вычисляем значения функции на концах отрезка и в корнях:
\[y(-\frac{\pi}{3}) = 14 tg(-\frac{\pi}{3}) - 28(-\frac{\pi}{3}) + 7\pi - 2 = -14\sqrt{3} + \frac{28\pi}{3} + 7\pi - 2 = -14\sqrt{3} + \frac{49\pi}{3} - 2\]\[y(\frac{\pi}{3}) = 14 tg(\frac{\pi}{3}) - 28(\frac{\pi}{3}) + 7\pi - 2 = 14\sqrt{3} - \frac{28\pi}{3} + 7\pi - 2 = 14\sqrt{3} + \frac{ -28\pi + 21\pi}{3} - 2 = 14\sqrt{3} - \frac{7\pi}{3} - 2\]\[y(-\frac{\pi}{4}) = 14 tg(-\frac{\pi}{4}) - 28(-\frac{\pi}{4}) + 7\pi - 2 = -14 + 7\pi + 7\pi - 2 = 14\pi - 16\]\[y(\frac{\pi}{4}) = 14 tg(\frac{\pi}{4}) - 28(\frac{\pi}{4}) + 7\pi - 2 = 14 - 7\pi + 7\pi - 2 = 12\] - Сравниваем значения функции:
\[y(-\frac{\pi}{3}) = -14\sqrt{3} + \frac{49\pi}{3} - 2 \approx -14 \cdot 1.73 + \frac{49 \cdot 3.14}{3} - 2 \approx -24.22 + 51.29 - 2 = 25.07\]\[y(\frac{\pi}{3}) = 14\sqrt{3} - \frac{7\pi}{3} - 2 \approx 14 \cdot 1.73 - \frac{7 \cdot 3.14}{3} - 2 \approx 24.22 - 7.33 - 2 = 14.89\]\[y(-\frac{\pi}{4}) = 14\pi - 16 \approx 14 \cdot 3.14 - 16 \approx 43.96 - 16 = 27.96\]\[y(\frac{\pi}{4}) = 12\]
Ответ: Наименьшее значение функции равно 12.
Похожие
