36. Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами: 1) 5, 5, 6; 2) 17, 65, 80 и наибольшую высоту треугольника со сторонами: 3) $$\frac{25}{6}$$, $$\frac{29}{6}$$, 6; 4) 13, $$37\frac{12}{13}$$, $$47\frac{1}{13}$$.

Для решения задачи необходимо сравнить высоты в треугольниках и выбрать наименьшую и наибольшую из них.

Воспользуемся формулой Герона для нахождения площади: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где $$p = \frac{a+b+c}{2}$$. Высота находится по формуле: $$h = \frac{2S}{a}$$, где $$a$$ - сторона треугольника.

1) Треугольник со сторонами 5, 5, 6:

1. $$p = \frac{5+5+6}{2} = 8$$.
2. $$S = \sqrt{8(8-5)(8-5)(8-6)} = \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{144} = 12$$.
3. $$h_5 = \frac{2 \cdot 12}{5} = 4.8$$, $$h_6 = \frac{2 \cdot 12}{6} = 4$$. Наименьшая высота: 4.

2) Треугольник со сторонами 17, 65, 80:

1. $$p = \frac{17+65+80}{2} = 81$$.
2. $$S = \sqrt{81(81-17)(81-65)(81-80)} = \sqrt{81 \cdot 64 \cdot 16 \cdot 1} = 9 \cdot 8 \cdot 4 = 288$$.
3. $$h_{17} = \frac{2 \cdot 288}{17} \approx 33.88$$, $$h_{65} = \frac{2 \cdot 288}{65} \approx 8.86$$, $$h_{80} = \frac{2 \cdot 288}{80} = 7.2$$. Наименьшая высота: 7.2.

3) Треугольник со сторонами $$\frac{25}{6}$$, $$\frac{29}{6}$$, 6:

1. $$p = \frac{\frac{25}{6} + \frac{29}{6} + 6}{2} = \frac{\frac{54}{6} + 6}{2} = \frac{9+6}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$$.
2. $$S = \sqrt{7.5(7.5-\frac{25}{6})(7.5-\frac{29}{6})(7.5-6)} = \sqrt{7.5(7.5-4.17)(7.5-4.83)(1.5)} = \sqrt{7.5 \cdot 3.33 \cdot 2.67 \cdot 1.5} = \sqrt{99.86} \approx 10$$.
3. $$h_{\frac{25}{6}} = \frac{2 \cdot 10}{\frac{25}{6}} = \frac{20 \cdot 6}{25} = \frac{120}{25} = 4.8$$, $$h_{\frac{29}{6}} = \frac{2 \cdot 10}{\frac{29}{6}} = \frac{20 \cdot 6}{29} = \frac{120}{29} \approx 4.14$$, $$h_6 = \frac{2 \cdot 10}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \approx 3.33$$. Наибольшая высота: 4.8.

4) Треугольник со сторонами 13, $$37\frac{12}{13}$$, $$47\frac{1}{13}$$:

1. $$13, \frac{493}{13}, \frac{612}{13}$$. $$p = \frac{13 + \frac{493}{13} + \frac{612}{13}}{2} = \frac{\frac{169+493+612}{13}}{2} = \frac{\frac{1274}{13}}{2} = \frac{1274}{26} = \frac{637}{13} \approx 49$$.
2. $$S = \sqrt{\frac{637}{13}(\frac{637}{13}-13)(\frac{637}{13}-\frac{493}{13})(\frac{637}{13}-\frac{612}{13})} = \sqrt{\frac{637}{13}(\frac{637-169}{13})(\frac{637-493}{13})(\frac{637-612}{13})} = \sqrt{\frac{637 \cdot 468 \cdot 144 \cdot 25}{13^4}} = \sqrt{\frac{1081320000}{28561}} = \sqrt{37862.56} \approx 194.6$$.
3. $$h_{13} = \frac{2 \cdot 194.6}{13} = \frac{389.2}{13} = 29.94$$, $$h_{\frac{493}{13}} = \frac{2 \cdot 194.6}{\frac{493}{13}} = \frac{389.2}{\frac{493}{13}} = \frac{389.2 \cdot 13}{493} \approx 10.26$$, $$h_{\frac{612}{13}} = \frac{2 \cdot 194.6}{\frac{612}{13}} = \frac{389.2}{\frac{612}{13}} = \frac{389.2 \cdot 13}{612} \approx 8.26$$. Наибольшая высота: 29.94.

Наименьшая высота из всех треугольников: 3.33. Наибольшая высота из всех треугольников: 33.88.

Ответ: Наименьшая высота: 3.33; Наибольшая высота: 33.88.