Найдите наклонные асимптоты при \( x \rightarrow +\infty \) и при \( x \rightarrow -\infty \) для следующих функций:

Разберем каждый случай по порядку: 1) \( \frac{3x^3+6}{2x^3+4x+5} \) Для нахождения асимптот при \( x \rightarrow \pm \infty \), найдем предел функции при \( x \rightarrow \pm \infty \). \[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^3+6}{2x^3+4x+5} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3(3+\frac{6}{x^3})}{x^3(2+\frac{4}{x^2}+\frac{5}{x^3})} = \frac{3}{2} \] Таким образом, функция имеет горизонтальную асимптоту \( y = \frac{3}{2} \). 2) \( \frac{4x^3-x^2+1}{x^2+x+8} \) Степень числителя больше степени знаменателя на 1, следовательно, есть наклонная асимптота. Разделим числитель на знаменатель, чтобы найти ее. \[ \frac{4x^3-x^2+1}{x^2+x+8} = 4x - 5 + \frac{-27x+41}{x^2+x+8} \] Таким образом, наклонная асимптота \( y = 4x - 5 \). 3) \( \frac{x^4-1}{x^2+6} \) Степень числителя больше степени знаменателя на 2, следовательно, асимптот нет. 4) \( \frac{x^4-1}{x^4+1} \) Для нахождения асимптот при \( x \rightarrow \pm \infty \), найдем предел функции при \( x \rightarrow \pm \infty \). \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^4-1}{x^4+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^4(1-\frac{1}{x^4})}{x^4(1+\frac{1}{x^4})} = 1 \] Таким образом, функция имеет горизонтальную асимптоту \( y = 1 \). 5) \( \frac{x^4-1}{x^3+6} \) Степень числителя больше степени знаменателя на 1, следовательно, есть наклонная асимптота. Разделим числитель на знаменатель, чтобы найти ее. \[ \frac{x^4-1}{x^3+6} = x - \frac{6x+1}{x^3+6} \] Таким образом, наклонная асимптота \( y = x \). 6) \( \frac{x^5-4x-3}{x^4-3x^3+4} \) Степень числителя больше степени знаменателя на 1, следовательно, есть наклонная асимптота. Разделим числитель на знаменатель, чтобы найти ее. \[ \frac{x^5-4x-3}{x^4-3x^3+4} = x + 3 + \frac{9x^3-4x-15}{x^4-3x^3+4} \] Таким образом, наклонная асимптота \( y = x + 3 \). Итого: 1) Горизонтальная асимптота: \( y = \frac{3}{2} \) 2) Наклонная асимптота: \( y = 4x - 5 \) 3) Асимптот нет. 4) Горизонтальная асимптота: \( y = 1 \) 5) Наклонная асимптота: \( y = x \) 6) Наклонная асимптота: \( y = x + 3 \)