688. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если: a) ее высота равна H, а двугранный угол при основании равен β; б) сторона основания равна m, а плоский угол при вершине равен α.

a) Дано: правильная четырехугольная пирамида, высота H, двугранный угол при основании равен β. Найти: объем пирамиды V. Решение: Обозначим сторону основания пирамиды через a. Т.к. пирамида правильная, то в основании лежит квадрат. Двугранный угол при основании - это угол между плоскостью основания и боковой гранью. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды H, апофемой (высотой боковой грани), и отрезком, соединяющим основание высоты пирамиды с серединой стороны основания. Этот отрезок равен половине стороны основания (a/2). Тогда: \[\tan(\beta) = \frac{H}{\frac{a}{2}} = \frac{2H}{a}\] Отсюда выражаем сторону основания: \[a = \frac{2H}{\tan(\beta)}\] Площадь основания пирамиды равна: \[S = a^2 = \left(\frac{2H}{\tan(\beta)}\right)^2 = \frac{4H^2}{\tan^2(\beta)}\] Объем пирамиды вычисляется по формуле: \[V = \frac{1}{3} S H = \frac{1}{3} \cdot \frac{4H^2}{\tan^2(\beta)} \cdot H = \frac{4H^3}{3\tan^2(\beta)}\] Ответ: \(\frac{4H^3}{3\tan^2(\beta)}\) б) Дано: правильная четырехугольная пирамида, сторона основания равна m, плоский угол при вершине равен α. Найти: объем пирамиды V. Решение: Обозначим сторону основания пирамиды через m. Т.к. пирамида правильная, то в основании лежит квадрат. Плоский угол при вершине - это угол между двумя смежными боковыми гранями. Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный боковым ребром пирамиды и половиной диагонали основания. Обозначим боковое ребро через b. Диагональ основания равна: \[d = m\sqrt{2}\] Половина диагонали основания равна: \[\frac{d}{2} = \frac{m\sqrt{2}}{2}\] Тангенс половины плоского угла при вершине равен: \[\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\frac{m\sqrt{2}}{2}}{b} = \frac{m\sqrt{2}}{2b}\] Отсюда выражаем боковое ребро: \[b = \frac{m\sqrt{2}}{2\tan(\frac{\alpha}{2})}\] Теперь нужно найти высоту пирамиды H. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, боковым ребром b, и половиной диагонали основания d/2. По теореме Пифагора: \[H^2 = b^2 - \left(\frac{d}{2}\right)^2 = b^2 - \left(\frac{m\sqrt{2}}{2}\right)^2 = b^2 - \frac{m^2}{2}\] Подставляем выражение для b: \[H^2 = \left(\frac{m\sqrt{2}}{2\tan(\frac{\alpha}{2})}\right)^2 - \frac{m^2}{2} = \frac{2m^2}{4\tan^2(\frac{\alpha}{2})} - \frac{m^2}{2} = \frac{m^2}{2\tan^2(\frac{\alpha}{2})} - \frac{m^2}{2}\] \[H^2 = \frac{m^2}{2} \left(\frac{1}{\tan^2(\frac{\alpha}{2})} - 1\right) = \frac{m^2}{2} \left(\frac{1 - \tan^2(\frac{\alpha}{2})}{\tan^2(\frac{\alpha}{2})}\right)\] Вспомним формулу двойного угла для тангенса: \[\tan(\alpha) = \frac{2\tan(\frac{\alpha}{2})}{1 - \tan^2(\frac{\alpha}{2})}\] Тогда: \[\frac{1 - \tan^2(\frac{\alpha}{2})}{\tan^2(\frac{\alpha}{2})} = \frac{2}{\tan(\alpha)}\] Подставляем в выражение для H^2: \[H^2 = \frac{m^2}{2} \cdot \frac{2}{\tan(\alpha)} = \frac{m^2}{\tan(\alpha)}\] \[H = \frac{m}{\sqrt{\tan(\alpha)}}\] Площадь основания пирамиды равна: \[S = m^2\] Объем пирамиды вычисляется по формуле: \[V = \frac{1}{3} S H = \frac{1}{3} \cdot m^2 \cdot \frac{m}{\sqrt{\tan(\alpha)}} = \frac{m^3}{3\sqrt{\tan(\alpha)}}\] Ответ: \(\frac{m^3}{3\sqrt{\tan(\alpha)}}\)