Найдите объем прямой призмы $$ABCA_1B_1C_1$$, если: a) $$\angle BAC = 120^\circ$$, $$AB = 5$$ см, $$AC = 3$$ см и наибольшая из площадей боковых граней равна $$35$$ см$$^2$$; б) $$\angle AB_1C = 60^\circ$$, $$AB = 3$$, $$CB_1 = 2$$ и двугранный угол с ребром $$BB_1$$ прямой.

Решение: а) Дано: прямая призма $$ABCA_1B_1C_1$$, $$\angle BAC = 120^\circ$$, $$AB = 5$$ см, $$AC = 3$$ см, наибольшая из площадей боковых граней равна $$35$$ см$$^2$$. Найдем площадь основания призмы (треугольника $$ABC$$): $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot sin(\angle BAC)$$ $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$$ см$$^2$$. Пусть $$BB_1 = h$$ - высота призмы. Так как наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см$$^2$$, то наибольшая сторона основания, умноженная на высоту, равна 35. Найдем сторону $$BC$$ по теореме косинусов: $$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot cos(\angle BAC)$$ $$BC^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot cos(120^\circ) = 25 + 9 - 30 \cdot (-\frac{1}{2}) = 34 + 15 = 49$$ $$BC = \sqrt{49} = 7$$ см. Тогда $$BC \cdot h = 35$$, откуда $$h = \frac{35}{BC} = \frac{35}{7} = 5$$ см. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту: $$V = S_{ABC} \cdot h = \frac{15\sqrt{3}}{4} \cdot 5 = \frac{75\sqrt{3}}{4}$$ см$$^3$$. Ответ: $$\frac{75\sqrt{3}}{4}$$ см$$^3$$ б) Дано: прямая призма $$ABCA_1B_1C_1$$, $$\angle AB_1C = 60^\circ$$, $$AB = 3$$, $$CB_1 = 2$$ и двугранный угол с ребром $$BB_1$$ прямой. Так как двугранный угол с ребром $$BB_1$$ прямой, то $$BB_1 \perp (ABC)$$. Рассмотрим треугольник $$ABB_1$$. Он прямоугольный, так как призма прямая. Тогда $$AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2$$. Рассмотрим треугольник $$CB_1B$$. Он прямоугольный, так как призма прямая. Тогда $$CB_1^2 = CB^2 + BB_1^2$$. В треугольнике $$AB_1C$$ известен угол $$\angle AB_1C = 60^\circ$$, $$AB_1$$ и $$CB_1$$. По теореме косинусов: $$AC^2 = AB_1^2 + CB_1^2 - 2 \cdot AB_1 \cdot CB_1 \cdot cos(60^\circ)$$ $$AC^2 = (AB^2 + BB_1^2) + (CB^2 + BB_1^2) - 2 \cdot \sqrt{AB^2 + BB_1^2} \cdot \sqrt{CB^2 + BB_1^2} \cdot \frac{1}{2}$$ $$AC^2 = AB^2 + CB^2 + 2BB_1^2 - \sqrt{(AB^2 + BB_1^2)(CB^2 + BB_1^2)}$$ Недостаточно данных для решения задачи. Отсутствуют данные о стороне AC.