Решение задачи на нахождение объема конуса

Для начала вспомним формулу объема конуса:

$$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h $$

Где:

• ( r ) - радиус основания конуса
• ( h ) - высота конуса

Из условия нам известен радиус основания конуса: $$r = 2\sqrt{6}$$.

Угол при вершине осевого сечения равен $$60^\circ$$. Так как осевое сечение – равнобедренный треугольник (боковые стороны - образующие конуса), то высота конуса является также и медианой, и биссектрисой. Следовательно, угол между высотой и образующей равен $$30^\circ$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса, радиусом основания и образующей. Высоту конуса можно найти, используя тангенс угла $$30^\circ$$:

$$\tan(30^\circ) = \frac{r}{h}$$

Выразим высоту ( h ):

$$ h = \frac{r}{\tan(30^\circ)} $$

Тангенс $$30^\circ$$ равен $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$. Подставим известные значения:

$$ h = \frac{2\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 2\sqrt{6} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{2} \cdot 3 = 6\sqrt{2} $$

Теперь подставим значения радиуса и высоты в формулу объема конуса:

$$ V = \frac{1}{3} \pi (2\sqrt{6})^2 (6\sqrt{2}) = \frac{1}{3} \pi (4 \cdot 6) (6\sqrt{2}) = \frac{1}{3} \pi \cdot 24 \cdot 6\sqrt{2} = 48\pi\sqrt{2} $$

Нам нужно найти значение выражения $$\frac{V \cdot \sqrt{2}}{\pi}$$. Подставим значение объема:

$$\frac{V \cdot \sqrt{2}}{\pi} = \frac{48\pi\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\pi} = 48 \cdot 2 = 96$$

Ответ: 96