Найдите область определения функции: a) y = x³ - 8x + 1; б) y = 1 / (5x² - 3x - 2); в) y = √3x - 5.

Область определения функции

— это множество всех допустимых значений аргумента (x), при которых функция имеет смысл.

Пошаговое решение:

1. а) y = x³ - 8x + 1
   Данная функция является многочленом. Многочлены определены для всех действительных чисел.
   Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \)
2. б) y = 1 / (5x² - 3x - 2)
   Дробь имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю.
   \( 5x² - 3x - 2 \) \(
   eq\) \( 0 \)
   Найдем корни квадратного уравнения \( 5x² - 3x - 2 = 0 \) с помощью дискриминанта \( D = b² - 4ac \):
   \( D = (-3)² - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49 \)
   \( \sqrt{D} = \sqrt{49} = 7 \)
   \( x_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1 \)
   \( x_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2 \cdot 5} = \frac{-4}{10} = -2/5 \)
   Значит, \( x \) не может быть равен \( 1 \) и \( -2/5 \).
   Область определения: \( D(y) = (-\infty; -2/5) \cup (-2/5; 1) \cup (1; +\infty) \)
3. в) y = √3x - 5
   Корень квадратный имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
   \( 3x - 5 \) \(\geq\) \( 0 \)
   \( 3x \) \(\geq\) \( 5 \)
   \( x \) \(\geq\) \( 5/3 \)
   Область определения: \( D(y) = [5/3; +\infty) \)

Ответ: а) \( D(y) = (-\infty; +\infty) \); б) \( D(y) = (-\infty; -2/5) \cup (-2/5; 1) \cup (1; +\infty) \); в) \( D(y) = [5/3; +\infty) \)