Найдите обратную матрицу для матрицы: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \] Предложенные варианты ответов: 1) \( A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 7 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) 2) \( A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -4 & -3 \\ 1 & -5 & -3 \\ -1 & 6 & 4 \end{pmatrix} \) 3) \( A^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & 1 & -4 \\ -3 & 1 & -5 \\ 4 & -1 & 4 \end{pmatrix} \) 4) \( A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 1 & -5 & 3 \\ 1 & 6 & -4 \end{pmatrix} \)

Чтобы найти обратную матрицу $$A^{-1}$$ для матрицы $$A$$, нужно выполнить следующие шаги: 1. Вычислить определитель матрицы A: \[ det(A) = 2 \cdot ((-1) \cdot 1 - 0 \cdot 2) - 2 \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) + 3 \cdot (1 \cdot 2 - (-1) \cdot (-1)) \] \[ det(A) = 2 \cdot (-1) - 2 \cdot (1) + 3 \cdot (2 - 1) \] \[ det(A) = -2 - 2 + 3 = -1 \] 2. Найти матрицу алгебраических дополнений (матрицу кофакторов): - $$C_{11} = (-1)^{1+1} \cdot ((-1) \cdot 1 - 0 \cdot 2) = -1$$ - $$C_{12} = (-1)^{1+2} \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) = -1$$ - $$C_{13} = (-1)^{1+3} \cdot (1 \cdot 2 - (-1) \cdot (-1)) = 1$$ - $$C_{21} = (-1)^{2+1} \cdot (2 \cdot 1 - 3 \cdot 2) = -(-4) = 4$$ - $$C_{22} = (-1)^{2+2} \cdot (2 \cdot 1 - 3 \cdot (-1)) = 5$$ - $$C_{23} = (-1)^{2+3} \cdot (2 \cdot 2 - 2 \cdot (-1)) = -6$$ - $$C_{31} = (-1)^{3+1} \cdot (2 \cdot 0 - 3 \cdot (-1)) = 3$$ - $$C_{32} = (-1)^{3+2} \cdot (2 \cdot 0 - 3 \cdot 1) = -(-3) = 3$$ - $$C_{33} = (-1)^{3+3} \cdot (2 \cdot (-1) - 2 \cdot 1) = -4$$ Матрица кофакторов: \[ C = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 4 & 5 & -6 \\ 3 & 3 & -4 \end{pmatrix} \] 3. Найти присоединенную матрицу (транспонировать матрицу кофакторов): \[ adj(A) = C^T = \begin{pmatrix} -1 & 4 & 3 \\ -1 & 5 & 3 \\ 1 & -6 & -4 \end{pmatrix} \] 4. Вычислить обратную матрицу: \[ A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \cdot adj(A) \] \[ A^{-1} = \frac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 4 & 3 \\ -1 & 5 & 3 \\ 1 & -6 & -4 \end{pmatrix} \] \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -4 & -3 \\ 1 & -5 & -3 \\ -1 & 6 & 4 \end{pmatrix} \] Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что обратная матрица совпадает с вариантом 2). Ответ: 2)