Найдите общий вид первообразных для функций f (335–336).

Упражнение 335.

• а) f(x) = 2 – x⁴

Для нахождения первообразной, мы применяем правило интегрирования степенной функции: \[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] и правило интегрирования константы: \[ \int c dx = cx + C \]

Применяем эти правила к функции f(x) = 2 – x⁴:

\[ F(x) = \int (2 - x^4) dx = \int 2 dx - \int x^4 dx = 2x - \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = 2x - \frac{x^5}{5} + C \]

• б) f(x) = 4x

Применяем правила интегрирования к функции f(x) = 4x:

\[ F(x) = \int 4x dx = 4 \int x dx = 4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 2x^2 + C \]

• в) f(x) = 1 - 1/x⁴

Сначала перепишем функцию как f(x) = 1 - x^-4.

\[ F(x) = \int (1 - x^{-4}) dx = \int 1 dx - \int x^{-4} dx = x - \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = x - \frac{x^{-3}}{-3} + C = x + \frac{1}{3x^3} + C \]

• г) f(x) = x⁵

\[ F(x) = \int x^5 dx = \frac{x^{5+1}}{5+1} + C = \frac{x^6}{6} + C \]

Упражнение 336.

• а) f(x) = x⁶

\[ F(x) = \int x^6 dx = \frac{x^{6+1}}{6+1} + C = \frac{x^7}{7} + C \]

• б) f(x) = 1/x³ - 2

Перепишем функцию как f(x) = x^-3 - 2.

\[ F(x) = \int (x^{-3} - 2) dx = \int x^{-3} dx - \int 2 dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} - 2x + C = \frac{x^{-2}}{-2} - 2x + C = -\frac{1}{2x^2} - 2x + C \]

• в) f(x) = x + cos x

\[ F(x) = \int (x + \cos x) dx = \int x dx + \int \cos x dx = \frac{x^2}{2} + \sin x + C \]

• г) f(x) = x – 3

\[ F(x) = \int (x - 3) dx = \int x dx - \int 3 dx = \frac{x^2}{2} - 3x + C \]