13. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна $$9\sqrt{2}$$, а боковое ребро равно 15 (см. рис. 7).

Объём пирамиды вычисляется по формуле: $$V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h$$, где $$S$$ — площадь основания, а $$h$$ — высота пирамиды.

1. В основании лежит квадрат со стороной $$a = 9\sqrt{2}$$. Площадь основания:

$$S = a^2 = (9\sqrt{2})^2 = 81 \cdot 2 = 162$$

2. Найдём высоту пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром. Диагональ квадрата равна $$d = a\sqrt{2} = 9\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 9 \cdot 2 = 18$$. Тогда половина диагонали равна 9. По теореме Пифагора:

$$h^2 + 9^2 = 15^2$$

$$h^2 = 225 - 81 = 144$$

$$h = \sqrt{144} = 12$$

3. Вычислим объём пирамиды:

$$V = \frac{1}{3} \cdot 162 \cdot 12 = 54 \cdot 12 = 648$$

Ответ: 648