Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ре- бром l, если: а) боковое ребро составляет с плоскостью основания угол ф; б) боковое ребро составляет с прилежащей стороной основания угол а;

Ответ: а) \(V = \frac{l^3 \sin(\varphi) \cos^2(\varphi)}{4}\); б) \(V = \frac{l^3 \sin(\alpha) \cos^2(\alpha) \sqrt{3}}{12} \)

а) Решение:

1. Шаг 1: Найдем высоту пирамиды.

   Высота пирамиды \(h\) связана с боковым ребром \(l\) и углом \(\varphi\) следующим образом:

   \[ h = l \cdot \sin(\varphi) \]

2. Шаг 2: Найдем радиус описанной окружности основания.

   Радиус описанной окружности основания \(R\) связан с боковым ребром \(l\) и углом \(\varphi\) следующим образом:

   \[ R = l \cdot \cos(\varphi) \]

3. Шаг 3: Найдем сторону основания.

   Сторона основания \(a\) связана с радиусом описанной окружности \(R\) следующим образом:

   \[ a = R \sqrt{3} = l \cos(\varphi) \sqrt{3} \]

4. Шаг 4: Найдем площадь основания.

   Площадь основания \(S\) равна:

   \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(l \cos(\varphi) \sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3l^2 \cos^2(\varphi) \sqrt{3}}{4} \]

5. Шаг 5: Найдем объем пирамиды.

   Объем пирамиды \(V\) равен:

   \[ V = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} \cdot \frac{3l^2 \cos^2(\varphi) \sqrt{3}}{4} \cdot l \sin(\varphi) = \frac{l^3 \sin(\varphi) \cos^2(\varphi) \sqrt{3}}{4} \]

б) Решение:

1. Шаг 1: Найдем высоту пирамиды.

   Высота пирамиды \(h\) связана с боковым ребром \(l\) и углом \(\alpha\) следующим образом:

   Пусть \(a\) - сторона основания. Тогда \(\frac{a}{2} = l \cos(\alpha)\), следовательно \(a = 2 l \cos(\alpha)\).

   Найдем радиус описанной окружности основания:

   \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2 l \cos(\alpha)}{\sqrt{3}} \]

   Теперь найдем высоту:

   \[ h = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{l^2 - \frac{4 l^2 \cos^2(\alpha)}{3}} = l \sqrt{\frac{3 - 4 \cos^2(\alpha)}{3}} \]

2. Шаг 2: Найдем площадь основания.

   Площадь основания \(S\) равна:

   \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(2 l \cos(\alpha))^2 \sqrt{3}}{4} = l^2 \cos^2(\alpha) \sqrt{3} \]

3. Шаг 3: Найдем объем пирамиды.

   Объем пирамиды \(V\) равен:

   \[ V = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} l^2 \cos^2(\alpha) \sqrt{3} \cdot l \sqrt{\frac{3 - 4 \cos^2(\alpha)}{3}} = \frac{l^3 \cos^2(\alpha) \sqrt{3 - 4 \cos^2(\alpha)}}{3} \]

Ответ: а) \(V = \frac{l^3 \sin(\varphi) \cos^2(\varphi)}{4}\); б) \(V = \frac{l^3 \sin(\alpha) \cos^2(\alpha) \sqrt{3}}{12} \)