Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведённую к основанию, в отношении 7:5, считая от вершины, а боковая сторона равна 140 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC = 140 см. Пусть высота, проведенная к основанию AC, равна BH. Центр вписанной окружности O делит высоту BH в отношении 7:5, считая от вершины B. Это означает, что BO : OH = 7 : 5. Обозначим BO = 7x и OH = 5x. Тогда вся высота BH = BO + OH = 7x + 5x = 12x. Так как O - центр вписанной окружности, OH является радиусом вписанной окружности, то есть r = 5x. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. Пусть HC = a. Тогда по теореме Пифагора: $$BC^2 = BH^2 + HC^2$$ $$140^2 = (12x)^2 + a^2$$ $$19600 = 144x^2 + a^2$$ (1) Площадь треугольника ABC можно выразить двумя способами: 1) $$S = \frac{1}{2} * AC * BH = \frac{1}{2} * 2a * 12x = 12ax$$ 2) $$S = p * r$$, где p - полупериметр, $$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{140 + 140 + 2a}{2} = 140 + a$$ $$S = (140 + a) * 5x = 700x + 5ax$$ Приравниваем два выражения для площади: $$12ax = 700x + 5ax$$ $$7ax = 700x$$ $$a = 100$$ Подставляем a = 100 в уравнение (1): $$19600 = 144x^2 + 100^2$$ $$19600 = 144x^2 + 10000$$ $$144x^2 = 9600$$ $$x^2 = \frac{9600}{144} = \frac{200}{3}$$ $$x = \sqrt{\frac{200}{3}} = 10\sqrt{\frac{2}{3}}$$ Тогда основание AC = 2a = 2 * 100 = 200 см. Ответ: 200