16. Найдите остаток от деления на 5 числа n⁵ + 4n для всех натуральных n.

Решение:

Рассмотрим выражение \(n^5 + 4n\). Мы можем переписать его как \(n^5 - n + 5n\). Заметим, что \(n^5 - n\) делится на 5 согласно малой теореме Ферма, которая утверждает, что если p - простое число, то для любого целого числа n, \(n^p - n\) делится на p.

Тогда \(n^5 - n\) делится на 5, и \(5n\) делится на 5, следовательно, вся сумма \(n^5 - n + 5n\) делится на 5.

Это означает, что остаток от деления \(n^5 + 4n\) на 5 равен 0 для всех натуральных n.

Ответ: 0