15. В треугольнике ABC BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC = 216, HC = 54 и ∠ACB = 40°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Определим длину отрезка AH:

   \[AH = AC - HC = 216 - 54 = 162\]

2. Найдем длину отрезка MC, так как BM - медиана:

   \[MC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 216 = 108\]

3. Найдем длину отрезка MH:

   \[MH = MC - HC = 108 - 54 = 54\]

4. Так как AH = 162, а MH = 54, то AM = AC/2 = 108. Выразим AH через AM и MH: AH = AM + MH

   AH = 2AM - MH. Выразим AM:

   \[162 = AM + 54\]

   \[AM = 162 - 54 = 108\]

5. Так как AM = MC, то \(\bigtriangleup BMC\) - равнобедренный, следовательно \(\angle MBC = \angle MCB = 40^\circ\)

6. Угол \(\angle ABH = 90^\circ - \angle BAC\), где \(\angle BAC = 180^\circ - 40^\circ - \angle ABC\)

7. Рассмотрим \(\bigtriangleup BHC\), где \(\angle BHC = 90^\circ\), \(\angle HCB = 40^\circ\), тогда \(\angle CBH = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\)

8. Следовательно, \(\angle ABC = \angle MBC + \angle MBH = 40^\circ + \angle MBH\)

   Тогда \(\angle MBA = \angle ABC - \angle MBC\). Из этого следует, что \(\angle MBA = \angle MBH\)

9. Так как BH - высота, то \(\bigtriangleup ABH\) - прямоугольный. Значит, \(\angle ABH = 90^\circ - \angle BAC\)

   Угол \(\angle BAC = 180^\circ - \angle ACB - \angle ABC\) = \(180^\circ - 40^\circ - (40^\circ + 50^\circ)\) = \(180^\circ - 130^\circ = 50^\circ\)

10. Тогда \(\angle ABH = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ\)

    А так как \(\angle MBA = \angle MBH\), то \(\angle MBA = \frac{1}{2} \cdot \angle ABH = 20^\circ\)

11. Найдем угол \(\angle AMB\). Сумма углов в треугольнике ABM равна 180 градусам. \[\angle AMB = 180^\circ - \angle BAM - \angle ABM\] \(\angle AMB = 180^\circ - 50^\circ - 20^\circ = 110^\circ\)

Ответ: 110