3. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 24, а площадь равна 72√2.

3. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 24, а площадь равна $$72\sqrt{2}$$.

Решение:

• Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, c - гипотенуза, а α и β - острые углы.
• Дано: c = 24, S = $$72\sqrt{2}$$.
• Площадь прямоугольного треугольника можно выразить как S = 1/2 × a × b, следовательно, $$a \cdot b = 2S = 2 \cdot 72\sqrt{2} = 144\sqrt{2}$$.
• По теореме Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2 = 24^2 = 576$$.
• Известно, что $$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$$, значит, $$(a+b)^2 = 576 + 2 \cdot 144\sqrt{2} = 576 + 288\sqrt{2}$$.
• $$(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab = 576 - 288\sqrt{2}$$.
• Выразим синус одного из острых углов: $$sin(α) = \frac{a}{c}$$, а косинус другого угла: $$cos(β) = \frac{b}{c}$$.
• Тангенс одного из острых углов можно выразить как: $$tg(α)=\frac{a}{b}$$.
• Выразим площадь через синус угла: $$S=\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}c^2 sinα cosα = \frac{1}{4}c^2 sin2α$$, откуда $$sin2α = \frac{4S}{c^2} = \frac{4 \cdot 72\sqrt{2}}{24^2} = \frac{288\sqrt{2}}{576} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$.
• Следовательно, $$2α = arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$$.
• Так как синус равен $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ при $$45^\circ$$, то $$2α = 45^\circ$$, и соответственно $$α = 22.5^\circ$$.
• Второй острый угол β = 90° - α = 90° - 22.5° = 67.5°.

Ответ: 22.5°; 67.5°