Найдите отрезки касательных AB и AC, проведенных из точки A к окружности радиуса r, если r = 9 см, \(\angle BAC = 120^\circ\)

Для решения этой задачи нам потребуется знание свойств касательных к окружности и тригонометрии. 1. Свойство касательных: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Обозначим точки касания как B и C. Тогда \(OB \perp AB\) и \(OC \perp AC\). 2. Рассмотрим четырехугольник ABOC: У нас есть четырехугольник ABOC, в котором \(\angle ABO = \angle ACO = 90^\circ\). Сумма углов четырехугольника равна 360°. Поэтому: \(\angle BOC = 360^\circ - \angle ABO - \angle ACO - \angle BAC = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). 3. Треугольники ABO и ACO: Рассмотрим треугольники ABO и ACO. Они прямоугольные, у них общая гипотенуза AO, и OB = OC = r (радиус окружности). Следовательно, треугольники ABO и ACO равны по гипотенузе и катету. Значит, \(\angle BAO = \angle CAO = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ\). 4. Нахождение AB (или AC): В прямоугольном треугольнике ABO у нас есть \(\angle BAO = 60^\circ\) и OB = r = 9 см. Мы можем использовать тангенс угла BAO: \(\tan(\angle BAO) = \frac{OB}{AB}\) \(\tan(60^\circ) = \frac{9}{AB}\) \(\sqrt{3} = \frac{9}{AB}\) \(AB = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}\) Так как треугольники ABO и ACO равны, то AB = AC. Ответ: \(AB = AC = 3\sqrt{3}\) см.