Найдите периметр треугольника ABC, если AB = 52, а радиус вписанной окружности равен 8.

Дано: треугольник ABC, AB = 52, r = 8 (радиус вписанной окружности). Найти: P треугольника ABC. Решение: 1. Пусть окружность касается сторон AC, BC и AB в точках M, K и N соответственно. Тогда OK = OM = r = 8. 2. Так как углы CKA и CMA прямые (касательные перпендикулярны радиусам, проведенным в точки касания), а угол C прямой (треугольник прямоугольный), то четырехугольник CKOM является квадратом. Следовательно, CK = CM = r = 8. 3. Пусть AM = x, тогда AN = x (как касательные, проведенные из одной точки к окружности). Аналогично, пусть BN = BK = y. 4. Имеем: - AC = AM + MC = x + 8 - BC = CK + KB = 8 + y - AB = AN + NB = x + y = 52 5. Периметр треугольника ABC равен: P = AC + BC + AB = (x + 8) + (8 + y) + (x + y) = 2x + 2y + 16 = 2(x + y) + 16 6. Так как x + y = 52, то: P = 2 * 52 + 16 = 104 + 16 = 120 Ответ: 120