Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если угол между боковым ребром и плоскостью основания составляет 30°, периметр одной боковой грани - 22 см, а площадь основания 36 см².

Для решения задачи нам понадобятся знания о свойствах правильной четырехугольной пирамиды и соотношениях в прямоугольных треугольниках.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида (SABCD), где (ABCD) - квадрат в основании, а (S) - вершина пирамиды. Пусть (O) - центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата).

1. Определим сторону основания. Площадь основания (S_{осн} = 36) см². Так как основание - квадрат, то (a^2 = 36), где (a) - сторона основания. Следовательно, (a = sqrt{36} = 6) см.
2. Рассмотрим боковую грань. Периметр боковой грани равен 22 см. Боковая грань - равнобедренный треугольник. Пусть боковая сторона равна (b). Тогда (a + 2b = 22), где (a) - сторона основания. Подставляем значение (a = 6): (6 + 2b = 22), (2b = 16), (b = 8) см.
3. Найдем апофему пирамиды (высоту боковой грани). Рассмотрим боковую грань (SAB). Пусть (M) - середина стороны (AB). Тогда (SM) - апофема. Треугольник (SOM) - прямоугольный, где (SO) - высота пирамиды, а (OM) - половина стороны основания. Угол между боковым ребром (SA) и плоскостью основания - это угол (SAO), который равен (30^circ).
4. Найдем (OM). Так как (M) - середина (AB), то (OM = rac{a}{2} = rac{6}{2} = 3) см.
5. Найдем высоту пирамиды (SO). В прямоугольном треугольнике (SOA): $$\tan(30^\circ) = \frac{SO}{OA}$$ $$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{SO}{OA}$$ Нам нужно найти (OA). Так как (O) – центр квадрата, то (OA = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}). Тогда: $$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{SO}{3\sqrt{2}}$$. Следовательно, $$SO = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{6}$$
6. Найдем апофему (SM) боковой грани. Рассмотрим прямоугольный треугольник (SOM). По теореме Пифагора: $$SM^2 = SO^2 + OM^2 = (\sqrt{6})^2 + 3^2 = 6 + 9 = 15$$ $$SM = \sqrt{15}$$
7. Найдем площадь одной боковой грани. $$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{15} = 3\sqrt{15}$$
8. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Так как пирамида четырехугольная, то у нее 4 боковые грани. $$S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot 3\sqrt{15} = 12\sqrt{15}$$