Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной усечённой пирамиды, стороны оснований которой равны 6 см и 10 см, а боковое ребро - $$2\sqrt{10}$$ см.

Для решения этой задачи, нам необходимо найти апофему (высоту боковой грани) усеченной пирамиды. Пусть стороны оснований равны $$a = 6$$ см и $$b = 10$$ см, а боковое ребро равно $$l = 2\sqrt{10}$$ см. 1. Найдем проекцию бокового ребра на плоскость основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, его проекцией на плоскость основания и высотой боковой грани (апофемой). Пусть проекция бокового ребра равна $$x$$. Так как основания – квадраты, то проекция бокового ребра на основание равна половине разности сторон оснований, то есть: $$\frac{b - a}{2} = \frac{10 - 6}{2} = 2$$ см. Таким образом, $$x = 2$$ см. 2. Найдем апофему (h). Воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного апофемой, проекцией бокового ребра на основание и боковым ребром: $$h^2 + x^2 = l^2$$ $$h^2 = l^2 - x^2$$ $$h^2 = (2\sqrt{10})^2 - 2^2$$ $$h^2 = 4 \cdot 10 - 4$$ $$h^2 = 40 - 4$$ $$h^2 = 36$$ $$h = \sqrt{36} = 6$$ см 3. Найдем площадь боковой поверхности. Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей всех боковых граней. Так как пирамида правильная четырехугольная, все боковые грани – равнобедренные трапеции, и их площади равны. Площадь одной трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту (апофему): $$S_{трап} = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{6 + 10}{2} \cdot 6 = \frac{16}{2} \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48$$ см$$^2$$ Так как боковых граней 4, общая площадь боковой поверхности равна: $$S_{бок} = 4 \cdot S_{трап} = 4 \cdot 48 = 192$$ см$$^2$$ Ответ: Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна 192 см$$^2$$. Разъяснение для ученика: 1. Понимание задачи: Нам дана усеченная пирамида, что означает, что у неё есть два основания – верхнее и нижнее, оба в форме квадрата. Нам нужно найти площадь её боковых граней. 2. Нахождение апофемы: Апофема – это высота боковой грани. Чтобы её найти, мы используем теорему Пифагора. Для этого мы рассматриваем прямоугольный треугольник, где гипотенузой является боковое ребро, одним катетом – проекция бокового ребра на основание, а другим – апофема. 3. Вычисление площади боковой поверхности: Каждая боковая грань является трапецией. Мы находим площадь одной трапеции и умножаем на 4, так как у нас 4 боковые грани.