Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной усечённой пирамиды, стороны оснований которой равны 5 см и 9 см, а боковое ребро - $$2\sqrt{10}$$ см.

Давай решим эту задачу вместе! 1. Понимание задачи: * У нас есть правильная треугольная усечённая пирамида. Это означает, что её основания - равносторонние треугольники, а боковые грани - равнобедренные трапеции. * Стороны оснований: $$a = 5$$ см (меньшее основание) и $$b = 9$$ см (большее основание). * Боковое ребро: $$l = 2\sqrt{10}$$ см. 2. План решения: * Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды состоит из площадей трёх равнобедренных трапеций. * Чтобы найти площадь трапеции, нам нужно знать её основания (у нас есть: $$a$$ и $$b$$) и высоту (апофему). * Сначала найдём апофему боковой грани. * Затем вычислим площадь одной боковой грани (трапеции). * Умножим эту площадь на 3, чтобы получить площадь всей боковой поверхности. 3. Нахождение апофемы боковой грани: * Рассмотрим равнобедренную трапецию, являющуюся боковой гранью. * Проведём высоты из вершин меньшего основания к большему. Получим прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. * Разница между основаниями трапеции равна $$9 - 5 = 4$$ см. Эта разница делится пополам между двумя прямоугольными треугольниками, поэтому каждый катет равен $$4 / 2 = 2$$ см. * Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза - это боковое ребро ($$2\sqrt{10}$$ см), а один из катетов - 2 см. Мы можем найти второй катет (высоту трапеции, она же апофема) по теореме Пифагора: \[h^2 = (2\sqrt{10})^2 - 2^2 = 4 \cdot 10 - 4 = 40 - 4 = 36\] \[h = \sqrt{36} = 6 \text{ см}\] * Итак, апофема боковой грани равна 6 см. 4. Вычисление площади одной боковой грани (трапеции): * Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[S_{\text{трапеции}} = \frac{a + b}{2} \cdot h\] * Подставляем значения: $$a = 5$$ см, $$b = 9$$ см, $$h = 6$$ см \[S_{\text{трапеции}} = \frac{5 + 9}{2} \cdot 6 = \frac{14}{2} \cdot 6 = 7 \cdot 6 = 42 \text{ см}^2\] 5. Вычисление площади боковой поверхности: * Так как у нас три одинаковые боковые грани, умножаем площадь одной грани на 3: \[S_{\text{боковой}} = 3 \cdot S_{\text{трапеции}} = 3 \cdot 42 = 126 \text{ см}^2\] Ответ: Площадь боковой поверхности правильной треугольной усечённой пирамиды равна 126 см².