Найдите площадь боковой поверхности прямой четырехугольной призмы $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$, если известно, что в основании призмы лежит прямоугольник площади 48 с диагональю, равной 10, а длина бокового ребра призмы равна 2.

Пусть стороны прямоугольника в основании призмы равны $$a$$ и $$b$$. Из условия задачи известны площадь прямоугольника и его диагональ. Тогда можно записать следующие соотношения: 1. $$ab = 48$$ (площадь прямоугольника) 2. $$a^2 + b^2 = 10^2 = 100$$ (теорема Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами прямоугольника и его диагональю) Из первого уравнения выразим $$b$$ через $$a$$: $$b = \frac{48}{a}$$. Подставим это выражение во второе уравнение: $$a^2 + (\frac{48}{a})^2 = 100$$ $$a^2 + \frac{2304}{a^2} = 100$$ $$a^4 + 2304 = 100a^2$$ $$a^4 - 100a^2 + 2304 = 0$$ Введём замену $$x = a^2$$. Тогда уравнение примет вид: $$x^2 - 100x + 2304 = 0$$ Решим квадратное уравнение для $$x$$. Дискриминант равен: $$D = (-100)^2 - 4(1)(2304) = 10000 - 9216 = 784$$ Тогда корни: $$x_1 = \frac{100 + \sqrt{784}}{2} = \frac{100 + 28}{2} = \frac{128}{2} = 64$$ $$x_2 = \frac{100 - \sqrt{784}}{2} = \frac{100 - 28}{2} = \frac{72}{2} = 36$$ Таким образом, $$a^2 = 64$$ или $$a^2 = 36$$, следовательно, $$a = 8$$ или $$a = 6$$. Если $$a = 8$$, то $$b = \frac{48}{8} = 6$$. Если $$a = 6$$, то $$b = \frac{48}{6} = 8$$. В любом случае стороны прямоугольника равны 6 и 8. Периметр основания призмы равен $$P = 2(a + b) = 2(6 + 8) = 2(14) = 28$$. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту (длину бокового ребра): $$S_{бок} = P \cdot h = 28 \cdot 2 = 56$$ Ответ: 56