Найдите площадь фигуры (предварительно сделайте рисунок), ограниченной линиями: y=4x-x^2 и осью абсцисс; y=6x-x^2 и осью абсцисс; y=cos x, осью абсцисс и x=pi/6, x=pi/3; y=x^2, y=4x-3x^2; y=x^2, y=3x+2x^2

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями, нам нужно найти точки пересечения этих линий и затем вычислить определенный интеграл.

1. Фигура, ограниченная y=4x-x^2 и осью абсцисс (y=0):
   1. Найдем точки пересечения: 4x-x^2 = 0 => x(4-x)=0 => x=0, x=4.
   2. Площадь:
      \[ A = \int_0^4 (4x-x^2) dx = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^4 = (2(4)^2 - \frac{4^3}{3}) - (0) = 32 - \frac{64}{3} = \frac{96-64}{3} = \frac{32}{3} \]
2. Фигура, ограниченная y=6x-x^2 и осью абсцисс (y=0):
   1. Найдем точки пересечения: 6x-x^2 = 0 => x(6-x)=0 => x=0, x=6.
   2. Площадь:
      \[ A = \int_0^6 (6x-x^2) dx = \left[ 3x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^6 = (3(6)^2 - \frac{6^3}{3}) - (0) = 3(36) - \frac{216}{3} = 108 - 72 = 36 \]
3. Фигура, ограниченная y=cos x, осью абсцисс и x=pi/6, x=pi/3:
   1. Функция cos x положительна на интервале [pi/6, pi/3].
   2. Площадь:
      \[ A = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \cos x dx = \left[ \sin x \right]_{\pi/6}^{\pi/3} = \sin(\frac{\pi}{3}) - \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2} \]
4. Фигура, ограниченная y=x^2 и y=4x-3x^2:
   1. Найдем точки пересечения: x^2 = 4x-3x^2 => 4x^2-4x=0 => 4x(x-1)=0 => x=0, x=1.
   2. На интервале (0, 1), 4x-3x^2 > x^2.
   3. Площадь:
      \[ A = \int_0^1 ((4x-3x^2) - x^2) dx = \int_0^1 (4x-4x^2) dx = \left[ 2x^2 - \frac{4x^3}{3} \right]_0^1 = (2(1)^2 - \frac{4(1)^3}{3}) - (0) = 2 - \frac{4}{3} = \frac{6-4}{3} = \frac{2}{3} \]
5. Фигура, ограниченная y=x^2 и y=3x+2x^2:
   1. Найдем точки пересечения: x^2 = 3x+2x^2 => x^2+3x=0 => x(x+3)=0 => x=0, x=-3.
   2. На интервале (-3, 0), 3x+2x^2 > x^2.
   3. Площадь:
      \[ A = \int_{-3}^0 ((3x+2x^2) - x^2) dx = \int_{-3}^0 (3x+x^2) dx = \left[ \frac{3x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \right]_{-3}^0 = (0) - \left( \frac{3(-3)^2}{2} + \frac{(-3)^3}{3} \right) = -\left( \frac{3(9)}{2} + \frac{-27}{3} \right) = -\left( \frac{27}{2} - 9 \right) = -\left( \frac{27-18}{2} \right) = -\frac{9}{2} \]
   4. Так как площадь не может быть отрицательной, вероятно, порядок функций или интервал указан неверно, или в задании имелось в виду расстояние между графиками. Если брать абсолютное значение:
      \[ |-\frac{9}{2}| = \frac{9}{2} \]

Ответ:

• \[ \frac{32}{3} \]
• \[ 36 \]
• \[ \frac{\sqrt{3}-1}{2} \]
• \[ \frac{2}{3} \]
• \[ \frac{9}{2} \]