1207 Найдите площадь круга, описанного около: а) прямоугольника со сторонами а и в; б) прямоугольного треугольника с катетом а и противолежащим углом α; в) равнобедренного треугольника с основанием а и высотой h, проведённой к основанию.

а) Площадь круга, описанного около прямоугольника со сторонами a и b.

Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности. Диагональ можно найти по теореме Пифагора: $$d = \sqrt{a^2 + b^2}$$. Радиус окружности равен половине диагонали: $$R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$$.

Площадь круга $$S = πR^2 = π(\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2})^2 = π\frac{a^2 + b^2}{4}$$

б) Площадь круга, описанного около прямоугольного треугольника с катетом a и противолежащим углом α.

Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности. Катет a связан с гипотенузой d через синус угла α: $$sin(α) = \frac{a}{d}$$ => $$d = \frac{a}{sin(α)}$$.

Радиус окружности равен половине гипотенузы: $$R = \frac{d}{2} = \frac{a}{2sin(α)}$$.

Площадь круга: $$S = πR^2 = π(\frac{a}{2sin(α)})^2 = π\frac{a^2}{4sin^2(α)}$$

в) Площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника с основанием a и высотой h, проведённой к основанию.

Радиус описанной окружности для треугольника можно найти по формуле: $$R = \frac{abc}{4S_{треуг}}$$, где a, b, c - стороны треугольника, \(S_{треуг}\) - площадь треугольника.

В нашем случае, площадь треугольника $$S_{треуг} = \frac{1}{2}ah$$. Найдём боковую сторону b равнобедренного треугольника. Высота h делит основание пополам. Тогда, по теореме Пифагора: $$b = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + h^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + h^2}$$.

Радиус описанной окружности: $$R = \frac{a(\sqrt{\frac{a^2}{4} + h^2})^2}{4(\frac{1}{2}ah)} = \frac{a(\frac{a^2}{4} + h^2)}{2ah} = \frac{\frac{a^2}{4} + h^2}{2h} = \frac{a^2 + 4h^2}{8h}$$

Площадь круга: $$S = πR^2 = π(\frac{a^2 + 4h^2}{8h})^2 = π\frac{(a^2 + 4h^2)^2}{64h^2}$$

Ответ: а) \(π\frac{a^2 + b^2}{4}\); б) \(π\frac{a^2}{4sin^2(α)}\); в) \(π\frac{(a^2 + 4h^2)^2}{64h^2}\).