Найдите площадь квадрата, если радиус описанной около него окружности равен 6\sqrt{2}.

Давайте решим эту задачу по шагам. 1. **Понимание задачи:** У нас есть квадрат, и вокруг него описана окружность. Нам известен радиус этой окружности, и наша задача - найти площадь квадрата. 2. **Связь между радиусом окружности и стороной квадрата:** Диагональ квадрата равна диаметру описанной окружности. Радиус окружности равен $$6\sqrt{2}$$, поэтому диаметр равен $$2 * 6\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$$. 3. **Нахождение стороны квадрата:** Пусть сторона квадрата равна $$a$$. По теореме Пифагора, в квадрате диагональ $$d$$ связана со стороной $$a$$ следующим образом: $$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$$. Следовательно, $$d = a\sqrt{2}$$. 4. **Выражение стороны через диагональ:** Мы знаем, что диагональ $$d = 12\sqrt{2}$$. Тогда $$a\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$$, значит, $$a = 12$$. 5. **Нахождение площади квадрата:** Площадь квадрата $$S$$ равна $$a^2$$. Поскольку $$a = 12$$, то $$S = 12^2 = 144$$. **Ответ:** Площадь квадрата равна **144**. --- **Развёрнутый ответ для ученика:** Представь себе квадрат, у которого все углы прямые, а стороны равны. Вокруг этого квадрата нарисована окружность, которая касается всех его вершин. Радиус этой окружности (расстояние от центра до любой точки на окружности) равен $$6\sqrt{2}$$. Чтобы найти площадь квадрата, нам нужно знать длину его стороны. Мы знаем, что диагональ квадрата равна диаметру окружности. Диаметр окружности - это два радиуса, то есть $$2 * 6\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$$. Теперь представь, что диагональ делит квадрат на два прямоугольных треугольника. Стороны квадрата - это катеты этих треугольников, а диагональ - гипотенуза. Используя теорему Пифагора, мы можем найти сторону квадрата. Если сторона квадрата равна $$a$$, то $$a^2 + a^2 = (12\sqrt{2})^2$$. Это упрощается до $$2a^2 = 288$$, и тогда $$a^2 = 144$$. Значит, сторона квадрата равна 12. Площадь квадрата - это сторона, умноженная на саму себя, то есть $$12 * 12 = 144$$. Так что площадь квадрата равна 144 квадратным единицам.