Найдите площадь квадрата, если: a) радиус вписанной в него окружности равен 9; б) радиус описанной около него окружности равен 7; в) радиус вписанной в него окружности равен 11; г) радиус описанной около него окружности равен 5. 2. a) В прямоугольнике одна сторона равна 84, а диагональ равна 91. Найдите его

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эти задачи вместе. **Задача 1: Площадь квадрата** **а) Радиус вписанной окружности равен 9.** В квадрате, вписанная окружность касается каждой стороны в её середине. Значит, сторона квадрата равна двум радиусам вписанной окружности. Если радиус вписанной окружности ( r = 9 ), то сторона квадрата ( a = 2r = 2 cdot 9 = 18 ). Площадь квадрата вычисляется по формуле ( S = a^2 ). Следовательно, площадь квадрата равна ( S = 18^2 = 324 ). **Ответ: Площадь квадрата равна 324.** **б) Радиус описанной окружности равен 7.** В квадрате, описанная окружность проходит через все вершины квадрата. Диаметр описанной окружности равен диагонали квадрата. Если радиус описанной окружности ( R = 7 ), то диагональ квадрата ( d = 2R = 2 cdot 7 = 14 ). Площадь квадрата можно найти через его диагональ по формуле ( S = rac{d^2}{2} ). Следовательно, площадь квадрата равна ( S = rac{14^2}{2} = rac{196}{2} = 98 ). **Ответ: Площадь квадрата равна 98.** **в) Радиус вписанной окружности равен 11.** Аналогично пункту (а), сторона квадрата равна двум радиусам вписанной окружности. Если радиус вписанной окружности ( r = 11 ), то сторона квадрата ( a = 2r = 2 cdot 11 = 22 ). Площадь квадрата ( S = a^2 = 22^2 = 484 ). **Ответ: Площадь квадрата равна 484.** **г) Радиус описанной окружности равен 5.** Аналогично пункту (б), диагональ квадрата равна двум радиусам описанной окружности. Если радиус описанной окружности ( R = 5 ), то диагональ квадрата ( d = 2R = 2 cdot 5 = 10 ). Площадь квадрата ( S = rac{d^2}{2} = rac{10^2}{2} = rac{100}{2} = 50 ). **Ответ: Площадь квадрата равна 50.** **Задача 2: Прямоугольник** **а) В прямоугольнике одна сторона равна 84, а диагональ равна 91. Найдите его вторую сторону.** В прямоугольнике диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного двумя сторонами. Пусть одна сторона ( a = 84 ), диагональ ( c = 91 ), а вторая сторона ( b ) – неизвестна. По теореме Пифагора ( a^2 + b^2 = c^2 ). Тогда ( b^2 = c^2 - a^2 = 91^2 - 84^2 = 8281 - 7056 = 1225 ). Следовательно, ( b = sqrt{1225} = 35 ). **Ответ: Вторая сторона прямоугольника равна 35.**