Площадь параллелограмма

1. а) Дана фигура, у которой все стороны равны, а периметр P = 28. Следовательно, это квадрат. Площадь квадрата равна $$S = a^2$$, где a - сторона квадрата. Периметр квадрата равен $$P = 4a$$. Тогда сторона квадрата равна $$a = \frac{P}{4} = \frac{28}{4} = 7$$. Площадь квадрата $$S = 7^2 = 49$$. Ответ: S = 49
2. б) Дан прямоугольник со стороной AD = 10 и диагональю AC = 12, угол CAD = 60°. Площадь прямоугольника равна $$S = a \cdot b$$, где a и b - стороны прямоугольника. Сторона AD = a = 10. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. $$cos(60°) = \frac{AD}{AC} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$$. Но мы знаем, что $$cos(60°) = \frac{1}{2}$$, следовательно, условие задачи не корректно. Если считать, что угол CAD = 30°, то $$cos(30°) = \frac{AD}{AC} = \frac{a}{12}$$. Тогда $$a = 12 \cdot cos(30°) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$$. Тогда площадь прямоугольника равна: $$S = a \cdot b = 10 \cdot 6\sqrt{3} = 60\sqrt{3}$$. Ответ: S = $$60\sqrt{3}$$
3. в) Дан прямоугольник, диагональ которого делит сторону AD на отрезки AK = 5 и KD = 3. Тогда сторона AD = a = AK + KD = 5 + 3 = 8. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора $$AB^2 + AD^2 = BD^2$$. Из рисунка видно, что BD - диагональ. Площадь прямоугольника равна $$S = a \cdot b$$, где a и b - стороны прямоугольника. Сторона AD = a = 8. Из рисунка видно, что треугольник ABK - равнобедренный, т.е. AB = AK = 5. Тогда площадь прямоугольника равна: $$S = a \cdot b = 8 \cdot 5 = 40$$. Ответ: S = 40
4. г) Дан параллелограмм со стороной DC = 8 и высотой AE = 4. Площадь параллелограмма равна $$S = a \cdot h$$, где a - сторона параллелограмма, h - высота, проведенная к этой стороне. Площадь параллелограмма равна: $$S = DC \cdot AE = 8 \cdot 4 = 32$$. Ответ: S = 32
5. д) Дан ромб, диагонали которого равны 18 и 2×OC, где угол OCA = 30°. Площадь ромба равна $$S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$$, где $$d_1$$ и $$d_2$$ - диагонали ромба. Одна диагональ равна BD = 18. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOC. $$tg(30°) = \frac{AO}{OC} = \frac{9}{OC}$$. $$OC = \frac{9}{tg(30°)} = \frac{9}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 9\sqrt{3}$$. Тогда вторая диагональ равна $$AC = 2 \cdot OC = 2 \cdot 9\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$$. Площадь ромба равна: $$S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 18\sqrt{3} = 162\sqrt{3}$$. Ответ: S = $$162\sqrt{3}$$
6. е) Дан параллелограмм со сторонами AB = 10 и BC = 12 и углом между диагональю и стороной $$∠CAD = 45°$$ и $$∠BCA = 15°$$. Проведем высоту BH к стороне AD. Тогда площадь параллелограмма равна $$S = AD \cdot BH$$. $$∠BAC = 180° - 45° - 15° = 120°$$. По теореме синусов: $$\frac{BC}{sin(∠BAC)} = \frac{AC}{sin(∠ABC)}$$. $$\frac{12}{sin(120°)} = \frac{AC}{sin(∠ABC)}$$. Ответ дать невозможно, так как не хватает данных.