Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если ее апофема равна 4 см, а угол между апофемой и высотой пирамиды равен 30°.

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту задачу вместе. **1. Анализ условия задачи** Нам дана правильная треугольная пирамида. Это означает, что в основании лежит равносторонний треугольник, а все боковые грани – равнобедренные треугольники, равные друг другу. Также известно, что апофема пирамиды (высота боковой грани) равна 4 см, а угол между апофемой и высотой пирамиды равен 30°. **2. Нахождение стороны основания** Обозначим сторону основания пирамиды как $$a$$. Так как угол между апофемой и высотой равен 30°, мы можем использовать тригонометрию. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и отрезком, соединяющим основание высоты с серединой стороны основания. Этот отрезок равен $$\frac{a}{2\sqrt{3}}$$. Тогда: $$\tan(30^\circ) = \frac{\frac{a}{2\sqrt{3}}}{4}$$
$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{8\sqrt{3}}$$ $$a = 8$$ см **3. Нахождение площади основания** Площадь равностороннего треугольника равна: $$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{8^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}$$ см$$^2$$ **4. Нахождение площади боковой поверхности** Площадь боковой поверхности состоит из трех равных треугольников. Площадь одного бокового треугольника равна: $$S_{бок.тр} = \frac{1}{2} * a * h = \frac{1}{2} * 8 * 4 = 16$$ см$$^2$$ Тогда площадь боковой поверхности: $$S_{бок} = 3 * S_{бок.тр} = 3 * 16 = 48$$ см$$^2$$ **5. Нахождение площади полной поверхности** Площадь полной поверхности равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: $$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 16\sqrt{3} + 48$$ см$$^2$$ **Ответ:** Площадь полной поверхности равна $$\bf{48 + 16\sqrt{3}}$$ см$$^2$$. Надеюсь, решение понятно. Если есть вопросы, спрашивайте!