515. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если: а) боковая сторона равна 20 см, а угол при основании равен 30°; б) высота, проведённая к боковой стороне, равна 6 см и образует с основанием угол в 45°.

а) Пусть боковая сторона (b = 20) см, угол при основании (\alpha = 30^\circ). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Высота, проведённая к основанию, является и медианой, и биссектрисой. Высота (h) делит треугольник на два прямоугольных треугольника. В прямоугольном треугольнике (sin(\alpha) = \frac{h}{b}), следовательно, (h = b cdot sin(\alpha) = 20 cdot sin(30^\circ) = 20 cdot 0.5 = 10) см. Основание треугольника (a) можно найти из соотношения (cos(\alpha) = \frac{a/2}{b}), следовательно, (a = 2 cdot b cdot cos(\alpha) = 2 cdot 20 cdot cos(30^\circ) = 40 cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}) см. Площадь треугольника (S = \frac{1}{2} cdot a cdot h = \frac{1}{2} cdot 20\sqrt{3} cdot 10 = 100\sqrt{3}) см². б) Пусть высота, проведённая к боковой стороне, (h_b = 6) см, угол между этой высотой и основанием (\gamma = 45^\circ). Угол при основании равен (\gamma = 45^\circ). Тогда угол при вершине равен (180^\circ - 2 cdot 45^\circ = 90^\circ). Значит, треугольник прямоугольный и равнобедренный. Боковая сторона (b = \frac{h_b}{sin(45^\circ)} = \frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}) см. Площадь треугольника (S = \frac{1}{2} cdot b^2 = \frac{1}{2} cdot (6\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} cdot 36 cdot 2 = 36) см². Ответ: а) (100\sqrt{3}) см², б) 36 см².