516. В треугольнике ABC BC = 34 см. Перпендикуляр MN, проведённый из середины BC к прямой AC, делит сторону AC на отрезки AN = 25 см и NC = 15 см. Найдите площадь треугольника ABC.

Пусть BC = 34 см, MN - перпендикуляр из середины BC к AC, AN = 25 см, NC = 15 см. Тогда AC = AN + NC = 25 + 15 = 40 см. Так как MN - перпендикуляр, то \(\angle MNA = 90^\circ\). M - середина BC, значит BM = MC = 17 см. \(\triangle MNC\) и \(\triangle ABC\) подобны по двум углам (угол C общий, и оба треугольника прямоугольные, MN перпендикулярен AC). Тогда \(\frac{MN}{AB} = \frac{MC}{BC} = \frac{NC}{AC}\). \(\frac{MC}{BC} = \frac{17}{34} = \frac{1}{2}\), значит, коэффициент подобия равен 1/2. \(\frac{NC}{AC} = \frac{15}{40} = \frac{3}{8}\) Это противоречие, значит, условие задачи некорректно. Предположим, что перпендикуляр проведён из середины BC к стороне AC. Тогда MC/BC = 1/2. Используем подобие треугольников MNC и ABC, и пусть MN перпендикулярен AC, тогда MNC и ABC прямоугольные и имеют общий угол C, следовательно, треугольники подобны. Следовательно, MN/AB = NC/AC = MC/BC, т.е. 1/2 = NC/AC, AC = AN+NC = 40, NC=AC/2 = 20, AN = AC - NC = 40 - 20 = 20. Высота MN треугольника MNC: (MN=\sqrt{MC^2 - NC^2}=\sqrt{17^2 - 20^2}). Такого быть не может, значит, задача не имеет решения с данными условиями. Задача не может быть решена с данными условиями, так как возникает противоречие в подобии треугольников и при расчете высоты.