4. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее меньшее основание равно 7 см, боковая сторона — 13 см, высота — 12 см.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

$$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$$, где $$a$$ и $$b$$ – основания трапеции, $$h$$ – высота.

Нам известны меньшее основание ($$a = 7$$ см), высота ($$h = 12$$ см) и боковая сторона (13 см). Необходимо найти большее основание ($$b$$).

Проведём высоты из вершин меньшего основания к большему основанию. Получим прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из этих треугольников. Его гипотенуза – боковая сторона трапеции (13 см), один из катетов – высота трапеции (12 см). Найдём второй катет ($$x$$) по теореме Пифагора:

$$x^2 + 12^2 = 13^2$$

$$x^2 + 144 = 169$$

$$x^2 = 169 - 144$$

$$x^2 = 25$$

$$x = \sqrt{25} = 5$$

Этот катет равен половине разности оснований. Значит, разность оснований равна $$2 \cdot 5 = 10$$ см.

Тогда большее основание равно $$b = a + 10 = 7 + 10 = 17$$ см.

Теперь найдём площадь трапеции:

$$S = \frac{7 + 17}{2} \cdot 12 = \frac{24}{2} \cdot 12 = 12 \cdot 12 = 144$$

Площадь равнобедренной трапеции равна 144 см².

Ответ: 144 см²