4. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее меньшее основание равно 7 см, боковая сторона 13 см, высота 12 см.

Для нахождения площади равнобедренной трапеции воспользуемся формулой:

$$S = \frac{a + b}{2} * h$$

где a и b - основания трапеции, а h - высота.

Нам известно меньшее основание (a = 7 см), высота (h = 12 см) и боковая сторона (c = 13 см). Нужно найти большее основание (b).

В равнобедренной трапеции высота, проведенная из вершины меньшего основания, отсекает прямоугольный треугольник. Боковая сторона является гипотенузой этого треугольника, высота - одним из катетов, а отрезок большего основания, прилежащий к этому треугольнику, - другим катетом. Обозначим этот отрезок как x.

По теореме Пифагора:

$$x^2 + h^2 = c^2$$ $$x^2 = c^2 - h^2$$ $$x = \sqrt{c^2 - h^2}$$

Подставим значения:

$$x = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$$

Так как трапеция равнобедренная, отрезок x отсекается с обеих сторон большего основания. Следовательно, большее основание равно:

$$b = a + 2x = 7 + 2 * 5 = 7 + 10 = 17$$

Теперь можем найти площадь трапеции:

$$S = \frac{a + b}{2} * h = \frac{7 + 17}{2} * 12 = \frac{24}{2} * 12 = 12 * 12 = 144$$

Ответ: 144 кв. см