Найдите площадь равнобокой трапеции, если её боковая сторона $10\sqrt{2}$ см, острый угол $45^\circ$, а меньшее основание 4 см.

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту задачу вместе. 1. **Понимание задачи и построение чертежа.** У нас есть равнобокая трапеция, у которой известна боковая сторона, меньшее основание и острый угол. Нам нужно найти площадь трапеции. Для начала, давайте нарисуем трапецию $ABCD$, где $BC$ - меньшее основание, равное 4 см, $AB$ - боковая сторона, равная $10\sqrt{2}$ см, и угол $BAD$ равен $45^\circ$. 2. **Проведение высоты и определение параметров.** Опустим высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник $ABH$. Так как угол $BAH$ равен $45^\circ$, то и угол $ABH$ также равен $45^\circ$ (поскольку сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, и один угол прямой). Это означает, что треугольник $ABH$ равнобедренный, и $AH = BH$. 3. **Нахождение высоты трапеции.** Используем тригонометрию. В прямоугольном треугольнике $ABH$, синус угла $BAH$ равен отношению противолежащего катета (высоты $BH$) к гипотенузе (боковой стороне $AB$): $\sin(45^\circ) = \frac{BH}{AB}$ $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{BH}{10\sqrt{2}}$ $BH = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\cdot\frac{2}{2} = 10$ см Таким образом, высота трапеции $BH = 10$ см. 4. **Нахождение большего основания трапеции.** Так как трапеция равнобокая, $AH = KD$, где $KD$ - высота, опущенная из вершины $C$ на основание $AD$. Мы уже знаем, что $AH = BH = 10$ см. Теперь найдем длину большего основания $AD$. $AD = AH + HK + KD$. Поскольку $HK = BC = 4$ см, и $AH = KD = 10$ см, то: $AD = 10 + 4 + 10 = 24$ см 5. **Вычисление площади трапеции.** Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH$ Подставим известные значения: $S = \frac{4 + 24}{2} \cdot 10 = \frac{28}{2} \cdot 10 = 14 \cdot 10 = 140$ см$^2$ **Ответ:** Площадь трапеции равна **140 см$^2$**. Развёрнутый ответ для школьника: Мы внимательно прочитали условие и нарисовали трапецию, чтобы лучше понимать, что происходит. Затем мы опустили высоту из вершины трапеции на большее основание. Поскольку угол $45^\circ$, образованный боковой стороной и основанием, образовал прямоугольный равнобедренный треугольник, то мы смогли найти высоту трапеции. После этого мы нашли длину большего основания трапеции и, наконец, использовали формулу для вычисления площади трапеции. Надеюсь, теперь всё понятно!