183 Найдите площадь S правильного п-угольника, если: а) п = 4, R = 3√2 см; б) п=3, P=24 см; в) п=6, r=9 см; г) п=8, r = 5√3 см.

Решение:

а) Дано: правильный n-угольник, n = 4, R = 3√2 см. Найти: S.

Площадь правильного n-угольника можно вычислить по формуле:

$$S = \frac{1}{2} n R^2 \sin(\frac{2\pi}{n})$$

Для квадрата (n = 4):

$$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (3\sqrt{2})^2 \cdot \sin(\frac{2\pi}{4}) = 2 \cdot (9 \cdot 2) \cdot \sin(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 18 \cdot 1 = 36 \text{ см}^2$$

Ответ: 36 см²

---

б) Дано: правильный n-угольник, n = 3, P = 24 см. Найти: S.

Для правильного треугольника (n = 3) со стороной a = P/3 = 24/3 = 8 см:

Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле:

$$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$

Подставляем значение a = 8 см:

$$S = \frac{8^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{64 \sqrt{3}}{4} = 16 \sqrt{3} \text{ см}^2$$

Ответ: $$16 \sqrt{3}$$ см²

---

в) Дано: правильный n-угольник, n = 6, r = 9 см. Найти: S.

Для правильного шестиугольника (n = 6) радиус вписанной окружности r = 9 см:

Площадь правильного шестиугольника можно вычислить по формуле:

$$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$$

Связь между стороной a и радиусом вписанной окружности r:

$$r = \frac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow a = \frac{2r}{\sqrt{3}}$$

Подставляем значение r = 9 см:

$$a = \frac{2 \cdot 9}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} \text{ см}$$

Тогда площадь:

$$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} (6\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 36 \cdot 3 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 108 = 3\sqrt{3} \cdot 54 = 162\sqrt{3} \text{ см}^2$$

Ответ: $$162\sqrt{3}$$ см²

---

г) Дано: правильный n-угольник, n = 8, r = 5√3 см. Найти: S.

Для правильного восьмиугольника (n = 8) радиус вписанной окружности r = 5√3 см:

Площадь правильного восьмиугольника можно вычислить по формуле:

$$S = 2na^2(1 + \sqrt{2})$$

Связь между стороной a и радиусом вписанной окружности r:

$$r = \frac{a}{2}(\sqrt{2}+1)$$

Тогда сторона:

$$a = \frac{2r}{\sqrt{2}+1} = 2r(\sqrt{2}-1) = 2 \cdot 5\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)$$ $$a = 10\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)$$

Площадь:

$$S = 2na^2(1 + \sqrt{2}) = 2\cdot 8\cdot (10\sqrt{3}(\sqrt{2}-1))^2(1+\sqrt{2}) = 16 \cdot 100 \cdot 3 \cdot (2 - 2\sqrt{2} + 1)(1 + \sqrt{2}) = 4800(3 - 2\sqrt{2})(1 + \sqrt{2}) = 4800(3 + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 4) = 4800(\sqrt{2} - 1)$$ $$S = 4800(\sqrt{2} - 1)$$

Ответ: $$4800(\sqrt{2} - 1)$$ см²