1185 Стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равны друг другу. Найдите отношения пло- щадей этих многоугольников.

Пусть сторона правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равна a.

1) Площадь правильного треугольника:

$$S_3 = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$

2) Площадь квадрата:

$$S_4 = a^2$$

3) Площадь правильного шестиугольника:

$$S_6 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$$

4) Найдем отношение площадей:

$$S_3 : S_4 : S_6 = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} : a^2 : \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} : 1 : \frac{3\sqrt{3}}{2} $$

Умножим все части отношения на 4:

$$\sqrt{3} : 4 : 6\sqrt{3}$$

Ответ: $$\sqrt{3} : 4 : 6\sqrt{3}$$