593 Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD, если: а) АВ = 10 см, BC = DA = 13 см, CD = 20 см; б) ∠C= ∠D= = 60°, AB = BC = 8 см; в) ∠C=∠D=45°, AB = 6 см, ВС = 9√2 см.

a) Дано: трапеция ABCD, AB = 10 см, BC = DA = 13 см, CD = 20 см. Найти: площадь трапеции ABCD.

Проведем высоты BH и AK. Тогда HK = AB = 10 см, DH = KC = (CD - AB) / 2 = (20 - 10) / 2 = 5 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC: BC = 13 см, HC = HK + KC = 10 + 5 = 15 см.

Тогда BH = \(\sqrt{BC^2 - HC^2}\) = \(\sqrt{13^2 - 5^2}\) = \(\sqrt{169 - 25}\) = \(\sqrt{144}\) = 12 см.

Площадь трапеции ABCD равна: S = (AB + CD) / 2 * BH = (10 + 20) / 2 * 12 = 15 * 12 = 180 см².

Ответ: 180 см².

б) Дано: трапеция ABCD, ∠C = ∠D = 60°, AB = BC = 8 см. Найти: площадь трапеции ABCD.

Т.к. ∠C = ∠D = 60°, то трапеция равнобокая. Проведем высоты BH и AK. Тогда AH = (CD-AB)/2.

Рассмотрим треугольник BHC: ∠C = 60°. sin C = BH/BC, cos C = HC/BC

sin 60° = (\(\sqrt{3}\)/2), cos 60° = 1/2

BH = BC * sin 60° = 8 * (\(\sqrt{3}\)/2) = 4\(\sqrt{3}\) см.

HC = BC * cos 60° = 8 * (1/2) = 4 см.

Т.к. трапеция равнобокая, AH = HC = 4 см. Тогда CD = AB + 2HC = 8 + 2 * 4 = 16 см.

Площадь трапеции ABCD равна: S = (AB + CD) / 2 * BH = (8 + 16) / 2 * 4\(\sqrt{3}\) = 12 * 4\(\sqrt{3}\) = 48\(\sqrt{3}\) см².

Ответ: $$48\sqrt{3}$$ см².

в) Дано: трапеция ABCD, ∠C = ∠D = 45°, AB = 6 см, BC = 9\(\sqrt{2}\) см. Найти: площадь трапеции ABCD.

Т.к. ∠C = ∠D = 45°, то трапеция равнобокая. Проведем высоты BH и AK. Тогда AH = (CD-AB)/2.

Рассмотрим треугольник BHC: ∠C = 45°. sin C = BH/BC, cos C = HC/BC

sin 45° = \(\sqrt{2}\)/2, cos 45° = \(\sqrt{2}\)/2

BH = BC * sin 45° = 9\(\sqrt{2}\) * (\(\sqrt{2}\)/2) = 9 см.

HC = BC * cos 45° = 9\(\sqrt{2}\) * (\(\sqrt{2}\)/2) = 9 см.

Т.к. трапеция равнобокая, AH = HC = 9 см. Тогда CD = AB + 2HC = 6 + 2 * 9 = 24 см.

Площадь трапеции ABCD равна: S = (AB + CD) / 2 * BH = (6 + 24) / 2 * 9 = 15 * 9 = 135 см².

Ответ: 135 см².