593 Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и СД, если: а) АВ=10см, BC = DA = 13 см, CD = 20 см; б) ∠C=∠D= =60°, AB=BC = 8 см; в) ∠C=∠D=45°, AB = 6 см, ВС = 9/2 см.

а) Дана трапеция ABCD с основаниями AB = 10 см, CD = 20 см, BC = DA = 13 см. Найдем площадь.

Трапеция равнобедренная. Проведем высоты BH и AK. Тогда HK = AB = 10 см, DH = KC = (20 - 10)/2 = 5 см.

Высота: $$h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$

Площадь трапеции: $$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{10 + 20}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180 \text{ см}^2$$

б) Дана трапеция ABCD с основаниями AB = 8 см, ∠C = ∠D = 60°, BC = 8 см. Найдем площадь.

Трапеция равнобедренная. Проведем высоты BH и AK. Тогда HK = AB = 8 см.

DH = KC = $$BC \cdot \cos 60° = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \text{ см}$$. CD = 8 + 4 + 4 = 16 см.

Высота: $$h = BC \cdot \sin 60° = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см}$$.

Площадь трапеции: $$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{8 + 16}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 12 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3} \approx 83,14 \text{ см}^2$$

в) Дана трапеция ABCD с основаниями AB = 6 см, ∠C = ∠D = 45°, BC = $$9\sqrt{2}$$ см. Найдем площадь.

Трапеция равнобедренная. Проведем высоты BH и AK. Тогда HK = AB = 6 см.

DH = KC = $$BC \cdot \cos 45° = 9\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9 \text{ см}$$. CD = 6 + 9 + 9 = 24 см.

Высота: $$h = BC \cdot \sin 45° = 9\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9 \text{ см}$$.

Площадь трапеции: $$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{6 + 24}{2} \cdot 9 = 15 \cdot 9 = 135 \text{ см}^2$$

Ответ: a) 180 см^2; б) $$48\sqrt{3}$$ см^2; в) 135 см^2