689 В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение: 1. Обозначим равнобедренный треугольник как $$\triangle ABC$$, где $$AB = BC = 13$$ см (боковые стороны) и $$AC = 10$$ см (основание). 2. Радиус вписанной окружности можно найти по формуле: $$r = \frac{S}{p}$$, где $$S$$ - площадь треугольника, $$p$$ - полупериметр треугольника. 3. Найдем полупериметр $$p$$: $$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 13 + 10}{2} = \frac{36}{2} = 18$$ см. 4. Найдем площадь $$S$$ треугольника. Для этого проведем высоту $$BH$$ к основанию $$AC$$. Так как треугольник равнобедренный, высота является и медианой, значит, $$AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ см. 5. Найдем высоту $$BH$$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $$ABH$$: $$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$ см. 6. Площадь треугольника $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$$ см$$^2$$. 7. Найдем радиус вписанной окружности $$r = \frac{S}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}$$ см. Ответ: Радиус вписанной окружности равен $$\frac{10}{3}$$ см. Развернутый ответ: Для решения задачи необходимо знать формулу радиуса вписанной окружности, которая связывает площадь треугольника и его полупериметр. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой, что позволяет найти высоту треугольника по теореме Пифагора. После нахождения высоты можно вычислить площадь треугольника, а затем и радиус вписанной окружности.