23. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 12 и 15, если отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны.

Решение:

1. Обозначим данный четырехугольник как ABCD, а середины сторон AB, BC, CD и DA как M, N, P и Q соответственно.
2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника, - это MN и PQ. По условию MN = PQ.
3. Четырехугольник MNPQ - параллелограмм, так как MN и PQ параллельны и равны. Если диагонали параллелограмма равны, то это прямоугольник. Значит, MN перпендикулярно PQ.
4. Диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны, так как они параллельны MN и PQ соответственно.
5. Площадь четырехугольника с перпендикулярными диагоналями вычисляется как половина произведения длин диагоналей:
\[S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 15 = 90\]
Ответ: 90