Найдите площадь заштрихованной на рисунке фигуры, если ВC = 4, ∠BAC = 30°, О — центр окружности (рис. 12.55).

1. Треугольник ABC вписан в окружность. Угол BAC - вписанный, опирается на дугу BC. Центральный угол BOC = 2 * ∠BAC = 2 * 30° = 60°.

2. Так как BC = 4 и центральный угол BOC = 60°, то треугольник BOC равнобедренный с углом при вершине 60°, следовательно, он равносторонний. Радиус окружности R = BC = 4 см.

3. Площадь заштрихованной фигуры равна площади круга минус площадь треугольника ABC. Площадь круга S_circle = πR² = π(4²) = 16π см².

4. Угол BAC = 30°, значит, угол BOC = 60°. Площадь сектора BOC = (πR² * 60)/360 = (16π * 60)/360 = 16π/6 = 8π/3 см².

5. Площадь треугольника BOC = (1/2) * R * R * sin(60°) = (1/2) * 4 * 4 * (√3/2) = 4√3 см².

6. Площадь заштрихованной фигуры = Площадь круга - Площадь треугольника ABC. Треугольник ABC равнобедренный, так как BC = 4 и угол BOC = 60°, значит, углы OBC и OCB равны (180-60)/2 = 60°. Следовательно, треугольник ABC равносторонний. Площадь треугольника ABC = (√3/4) * a² = (√3/4) * 4² = 4√3 см².

7. Площадь заштрихованной фигуры = 16π - 4√3 см².