Решение:

1. Последовательное значение каждой из разностей:
• $$\frac{1}{2} = 0.5$$
• $$\frac{1}{3} \approx 0.333$$
• $$\frac{1}{4} = 0.25$$
• $$\frac{1}{5} = 0.2$$
• $$\frac{1}{6} \approx 0.167$$
• $$\frac{1}{7} \approx 0.143$$
• $$\frac{1}{8} = 0.125$$
2. Значение суммы:

Для решения данной задачи, заметим, что каждое слагаемое в сумме можно представить как разность двух дробей: $$\frac{1}{6} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$$, $$\frac{1}{12} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$$, $$\frac{1}{20} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$$, $$\frac{1}{30} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6}$$, $$\frac{1}{42} = \frac{1}{6} - \frac{1}{7}$$, $$\frac{1}{56} = \frac{1}{7} - \frac{1}{8}$$. Тогда сумма принимает вид: $$S = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{6}) + (\frac{1}{6} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{8})$$. Видим, что многие слагаемые сокращаются: $$S = \frac{1}{2} - \frac{1}{8}$$. Приведем дроби к общему знаменателю (8): $$S = \frac{4}{8} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$$.

Ответ: $$\frac{3}{8}$$