Найдите PQ. SR = 7, угол R = 120 градусов, угол S = 90 градусов, PR = RQ.

Давайте решим эту задачу по геометрии вместе. У нас есть треугольник PQR, в котором SR - высота, угол S прямой, угол R равен 120 градусам, и PR = RQ. Наша задача - найти длину стороны PQ.

Для начала, рассмотрим треугольник PRS. Так как угол S прямой (90 градусов), а угол R в треугольнике PQR равен 120 градусам, то угол PRS будет равен половине угла R, то есть 60 градусов (120/2 = 60), потому что PR = RQ, значит, треугольник PQR - равнобедренный, а высота SR является и биссектрисой.

Теперь в треугольнике PRS у нас есть угол S (90 градусов), угол PRS (60 градусов), и, следовательно, угол RPS равен 30 градусам (180 - 90 - 60 = 30).

Мы знаем, что SR = 7. В прямоугольном треугольнике PRS, SR является катетом, противолежащим углу RPS (30 градусов). Мы можем использовать тригонометрическую функцию, чтобы найти длину PR. В частности, синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$$sin(RPS) = \frac{SR}{PR}$$

Мы знаем, что sin(30°) = 1/2. Подставим известные значения:

$$\frac{1}{2} = \frac{7}{PR}$$

Решим это уравнение, чтобы найти PR:

$$PR = 7 \cdot 2 = 14$$

Теперь мы знаем, что PR = 14, и так как PR = RQ, то RQ = 14 тоже.

Чтобы найти PQ, можно применить теорему косинусов к треугольнику PQR:

$$PQ^2 = PR^2 + RQ^2 - 2 \cdot PR \cdot RQ \cdot cos(R)$$

Мы знаем, что угол R равен 120 градусам, и cos(120°) = -1/2. Подставим известные значения:

$$PQ^2 = 14^2 + 14^2 - 2 \cdot 14 \cdot 14 \cdot (-\frac{1}{2})$$ $$PQ^2 = 196 + 196 + 196$$ $$PQ^2 = 588$$

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти PQ:

$$PQ = \sqrt{588} = \sqrt{4 \cdot 147} = \sqrt{4 \cdot 49 \cdot 3} = 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{3} = 14\sqrt{3}$$

Итак, длина PQ равна 14√3.

Ответ: $$14\sqrt{3}$$