Найдите произведение корней уравнения: $$(\frac{1}{4})^{\frac{4-x^2}{2}} = 8^x$$

Решим уравнение: $$(\frac{1}{4})^{\frac{4-x^2}{2}} = 8^x$$.

Представим обе части уравнения в виде степени с основанием 2:

$$ (2^{-2})^{\frac{4-x^2}{2}} = (2^3)^x $$

$$ 2^{-2 \cdot \frac{4-x^2}{2}} = 2^{3x} $$

$$ 2^{-(4-x^2)} = 2^{3x} $$

Так как основания степеней равны, то можно приравнять показатели:

$$ -(4-x^2) = 3x $$

$$ -4 + x^2 = 3x $$

$$ x^2 - 3x - 4 = 0 $$

Решим квадратное уравнение. Используем теорему Виета. Сумма корней равна 3, а произведение равно -4.

$$x_1 + x_2 = 3$$

$$x_1 \cdot x_2 = -4$$

Подходящие корни: $$x_1 = 4$$ и $$x_2 = -1$$.

Проверим корни:

При $$x = 4$$:

$$(\frac{1}{4})^{\frac{4-4^2}{2}} = (\frac{1}{4})^{\frac{4-16}{2}} = (\frac{1}{4})^{-6} = 4^6 = (2^2)^6 = 2^{12}$$

$$8^4 = (2^3)^4 = 2^{12}$$

При $$x = -1$$:

$$(\frac{1}{4})^{\frac{4-(-1)^2}{2}} = (\frac{1}{4})^{\frac{4-1}{2}} = (\frac{1}{4})^{\frac{3}{2}} = (2^{-2})^{\frac{3}{2}} = 2^{-3} = \frac{1}{8}$$

$$8^{-1} = \frac{1}{8}$$

Оба корня подходят.

Найдем произведение корней:

$$x_1 \cdot x_2 = 4 \cdot (-1) = -4$$

Ответ: -4