Найдите производную функции: 1. $$y=(3x-8)^{10}$$ 2. а) $$y=sin(2x-1)$$; б) $$y=cos(3x+4)$$ в) $$y=tg(4x-2)$$; г) $$y=ctg(5x+5)$$ 3. а) $$y=e^{3x+4}$$; б) $$y=4^{6x-1}$$ в) $$y=log_6 (9x+4)$$; г) $$y=ln(2x-5)$$ 4. $$y=\sqrt[5]{x}$$

Конечно, вот решение: 1. $$y = (3x - 8)^{10}$$ Чтобы найти производную этой функции, используем правило цепной функции. Сначала находим производную внешней функции (степени), а затем умножаем на производную внутренней функции (3x - 8). $$y' = 10(3x - 8)^{9} cdot (3x - 8)' = 10(3x - 8)^{9} cdot 3 = 30(3x - 8)^{9}$$ Ответ: $$y' = 30(3x - 8)^{9}$$ 2. а) $$y = \sin(2x - 1)$$ Используем правило цепной функции. Производная синуса - косинус, затем умножаем на производную аргумента (2x - 1). $$y' = \cos(2x - 1) cdot (2x - 1)' = \cos(2x - 1) cdot 2 = 2\cos(2x - 1)$$ Ответ: $$y' = 2\cos(2x - 1)$$ б) $$y = \cos(3x + 4)$$ Производная косинуса - минус синус, затем умножаем на производную аргумента (3x + 4). $$y' = -\sin(3x + 4) cdot (3x + 4)' = -\sin(3x + 4) cdot 3 = -3\sin(3x + 4)$$ Ответ: $$y' = -3\sin(3x + 4)$$ в) $$y = \tan(4x - 2)$$ Производная тангенса - это секанс в квадрате, затем умножаем на производную аргумента (4x - 2). $$y' = \sec^2(4x - 2) cdot (4x - 2)' = \sec^2(4x - 2) cdot 4 = 4\sec^2(4x - 2)$$ Ответ: $$y' = 4\sec^2(4x - 2)$$ г) $$y = \cot(5x + 5)$$ Производная котангенса - это минус косеканс в квадрате, затем умножаем на производную аргумента (5x + 5). $$y' = -\csc^2(5x + 5) cdot (5x + 5)' = -\csc^2(5x + 5) cdot 5 = -5\csc^2(5x + 5)$$ Ответ: $$y' = -5\csc^2(5x + 5)$$ 3. а) $$y = e^{3x + 4}$$ Производная экспоненты e в степени чего-либо равна e в той же степени, умноженной на производную степени. $$y' = e^{3x + 4} cdot (3x + 4)' = e^{3x + 4} cdot 3 = 3e^{3x + 4}$$ Ответ: $$y' = 3e^{3x + 4}$$ б) $$y = 4^{6x - 1}$$ Используем формулу производной показательной функции: $$y = a^u$$, тогда $$y' = a^u \ln(a) \cdot u'$$. $$y' = 4^{6x - 1} \ln(4) cdot (6x - 1)' = 4^{6x - 1} \ln(4) cdot 6 = 6 \ln(4) cdot 4^{6x - 1}$$ Ответ: $$y' = 6 \ln(4) cdot 4^{6x - 1}$$ в) $$y = \log_6(9x + 4)$$ Используем формулу производной логарифмической функции: $$y = \log_a(u)$$, тогда $$y' = \frac{u'}{u \ln(a)}$$. $$y' = \frac{(9x + 4)'}{(9x + 4) \ln(6)} = \frac{9}{(9x + 4) \ln(6)}$$ Ответ: $$y' = \frac{9}{(9x + 4) \ln(6)}$$ г) $$y = \ln(2x - 5)$$ Производная натурального логарифма ln(u) равна u' / u. $$y' = \frac{(2x - 5)'}{2x - 5} = \frac{2}{2x - 5}$$ Ответ: $$y' = \frac{2}{2x - 5}$$ 4. $$y = \sqrt[5]{x} = x^{\frac{1}{5}}$$ Используем правило степенной функции: $$y = x^n$$, тогда $$y' = nx^{n-1}$$. $$y' = \frac{1}{5}x^{\frac{1}{5} - 1} = \frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}} = \frac{1}{5x^{\frac{4}{5}}} = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$$ Ответ: $$y' = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$$