1) Найдите производную функции: 1. 1) y=3x^2; 2) y = 2x^(3/2); 3) y = 4x^2; 4) y = \sqrt[3]{x^2}. 2.1)y=\frac{1}{x^3}; 2)y=\frac{2}{3}^x; 3)y=\frac{1}{\sqrt{x}}; 4) y = \frac{4}{\sqrt[3]{x}}; 2) Вычислите производные при заданном значении аргумента: 1. f(x) = 4x^3-3x^2-x-1, f'(-1). 2. f(x) = (2x^3-1)(x^2+ 1), f'(1). 3. f(x) = \frac{x^2}{1-x^3}, f'(2).

Решение:

1. 1) (y = 3x^2)

   Производная: $$y' = 6x$$

   2) (y = 2x^{\frac{3}{2}})

   Производная: $$y' = 2 \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} = 3x^{\frac{1}{2}} = 3\sqrt{x}$$

   3) (y = 4x^2)

   Производная: $$y' = 8x$$

   4) (y = \sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}})

   Производная: $$y' = \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3} - 1} = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$$

2. 1) (y = \frac{1}{x^3} = x^{-3})

   Производная: $$y' = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$$

   2) (y = (\frac{2}{3})^x)

   Производная: $$y' = (\frac{2}{3})^x \ln(\frac{2}{3})$$

   3) (y = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}})

   Производная: $$y' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}}$$

   4) (y = \frac{4}{\sqrt[3]{x}} = 4x^{-\frac{1}{3}})

   Производная: $$y' = 4 \cdot (-\frac{1}{3}) x^{-\frac{4}{3}} = -\frac{4}{3\sqrt[3]{x^4}}$$

3. 1) (f(x) = 4x^3 - 3x^2 - x - 1)

   Производная: $$f'(x) = 12x^2 - 6x - 1$$

   Значение производной при (x = -1):

   $$f'(-1) = 12(-1)^2 - 6(-1) - 1 = 12 + 6 - 1 = 17$$

   2) (f(x) = (2x^3 - 1)(x^2 + 1))

   Производная: $$f'(x) = (6x^2)(x^2 + 1) + (2x^3 - 1)(2x) = 6x^4 + 6x^2 + 4x^4 - 2x = 10x^4 + 6x^2 - 2x$$

   Значение производной при (x = 1):

   $$f'(1) = 10(1)^4 + 6(1)^2 - 2(1) = 10 + 6 - 2 = 14$$

   3) (f(x) = \frac{x^2}{1 - x^3})

   Производная: $$f'(x) = \frac{2x(1 - x^3) - x^2(-3x^2)}{(1 - x^3)^2} = \frac{2x - 2x^4 + 3x^4}{(1 - x^3)^2} = \frac{2x + x^4}{(1 - x^3)^2}$$

   Значение производной при (x = 2):

   $$f'(2) = \frac{2(2) + (2)^4}{(1 - (2)^3)^2} = \frac{4 + 16}{(1 - 8)^2} = \frac{20}{(-7)^2} = \frac{20}{49}$$

Ответы:

1. 1) (y' = 6x)

   2) (y' = 3\sqrt{x})

   3) (y' = 8x)

   4) (y' = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}})

2. 1) (y' = -\frac{3}{x^4})

   2) (y' = (\frac{2}{3})^x \ln(\frac{2}{3}))

   3) (y' = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}})

   4) (y' = -\frac{4}{3\sqrt[3]{x^4}})

3. 1) (f'(-1) = 17)

   2) (f'(1) = 14)

   3) (f'(2) = \frac{20}{49})