Найдите производную функции: 1) f(x)=cos x; 2) f(x)=sin^2 3x; 3) f(x)=sqrt(3-x^2); 4) f(x)=2 / sqrt(3x+2-5x)

Найдем производные для каждой функции:

1. 1) f(x) = cos x

   Производная от косинуса равна минус синусу:

   \[ f'(x) = -\sin x \]

2. 2) f(x) = sin^2 3x

   Здесь нужно использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

   Пусть u = sin 3x. Тогда f(u) = u^2.

   Производная f'(u) = 2u.

   Теперь найдем производную от u = sin 3x.

   Пусть v = 3x. Тогда u(v) = sin v.

   Производная u'(v) = cos v.

   Производная v'(x) = 3.

   Итак, производная от u = sin 3x равна: u' = cos v * v' = cos 3x * 3 = 3 cos 3x.

   Теперь собираем все вместе: f'(x) = f'(u) * u' = 2u * (3 cos 3x) = 2(sin 3x) * (3 cos 3x) = 6 sin 3x cos 3x.

   Можно также использовать формулу двойного угла для синуса (2 sin a cos a = sin 2a):

   \[ f'(x) = 3 \sin(2 \cdot 3x) = 3 \sin 6x \]

3. 3) f(x) = sqrt(3 - x^2)

   Это также сложная функция. Пусть u = 3 - x^2. Тогда f(u) = sqrt(u) = u^(1/2).

   Производная f'(u) = (1/2) * u^(-1/2) = 1 / (2 * sqrt(u)).

   Производная от u = 3 - x^2 равна u' = -2x.

   Собираем: f'(x) = f'(u) * u' = (1 / (2 * sqrt(3 - x^2))) * (-2x) = -2x / (2 * sqrt(3 - x^2)) = -x / sqrt(3 - x^2).

   \[ f'(x) = - \frac{x}{\sqrt{3 - x^2}} \]

4. 4) f(x) = 2 / sqrt(3x + 2 - 5x)

   Сначала упростим знаменатель: sqrt(3x + 2 - 5x) = sqrt(2 - 2x).

   Теперь функция выглядит так: f(x) = 2 / sqrt(2 - 2x).

   Это можно переписать как f(x) = 2 * (2 - 2x)^(-1/2).

   Пусть u = 2 - 2x. Тогда f(u) = 2 * u^(-1/2).

   Производная f'(u) = 2 * (-1/2) * u^(-3/2) = -u^(-3/2).

   Производная от u = 2 - 2x равна u' = -2.

   Собираем: f'(x) = f'(u) * u' = -u^(-3/2) * (-2) = 2 * u^(-3/2) = 2 / (u^(3/2)) = 2 / (sqrt(2 - 2x))^3.

   \[ f'(x) = \frac{2}{(\sqrt{2 - 2x})^3} \]

   Можно также записать как:

   \[ f'(x) = \frac{2}{(2 - 2x)^{\frac{3}{2}}} \]